,平面的基本性质（2）,复习提问:,1.你是怎样来认识一个平面的?怎样 来表示一个平面?它的记法是什么?,2.空间中的点,线,面之间的位置关系 是怎样用符号来表示的?,3.平面有哪些性质?,问题1：为什么当一个人在学会走路之前总会有一段爬行的人生经历，同时也有一段拄着拐杖的人生历程？在爬行与拄拐杖这两件事情中是否隐含着什么数学理论呢？,问题2：用两个合页和一把锁就可以固定一扇门，为什么？,情境引入,问题3：自行车的撑脚一般安装在自行车的 什么位置？能不能安装在前后轮一条直线 的地方 ？,问题4：照相机支架需要几条腿？两条行不 行？三条在一条线上行不行？,根据上面的实例，你得到怎么样的一个结论？ 如何用数学语言描述上述事实？,情境引入,公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且 只有一个平面.,图形语言：,符号语言：,如何理解公理3中的“有且只有一个”？,“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形惟一.,公理3可以帮助我们解决哪些几何问题？,确定平面；证明两个平面重合.,数学理论,不共线的三点A,B,C的 平面通常记作平面ABC ,想一想？,过一条直线l和直线 外一点A的平面有几个?,推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有 且只有一个平面.,图形语言：,符号语言：,分析：先在直线l上任取两点,， 这样,三点就能确定一个平面， 再证明l在这个平面内,数学理论,推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有 一个平面.,已知：点A a.,求证：过点A和直线a可以确定一个平面.,证明：,存在性.,因为A a，在a上任取两点B，C.,所以过不共线的三点A，B，C有一个平面.（公理3）,因为B，C，,所以a.（公理1）,故经过点A和直线a有一个平面.,唯一性.,如果经过点A和直线a的平面还有一个平面， 那么A，a ,因为Ba， Ca，所以B，C.（公理1）,故不共线的三点A，B，C既在平面内又在平面内. 所以平面和平面重合.（公理3）,所以经过点A和直线a有且只有一个平面 .,证明：,同理：,即直线AD、BD、CD共面,又,又,直线 AD、BD、CD 在同一个平面 内,【例1】已知： 求证：直线 AD、BD、CD 共面.,直线 l 与点 D 可以确 定一个平面,数学运用,分析：因为直线l与点可以确定 平面 所以只需证明,都 在平面 内,推论2：经过两条相交直线，有且只有一个 平面.,图形语言：,符号语言：,数学理论,推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.,证明：,在a上取不同于点P的点A,即：过 a，b 有且只有一个平面,过直线 b和点 A只有一个平面,即：,过a，b只有一个平面,右图是一张倒置的课桌，你能用所学的知识检查一下桌子的四条腿是否在同一个平面内？,数学运用,【例2】两两相交且不共点 的三条直线必在同 一个平面内.,已知：ABAC=A，ABBC=B，ACBC=C,求证：直线AB，BC，AC共面.,证法一：,因为ABAB=A,所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2）,因为BAB，CAC，所以B，C，,故BC.（公理1）,因此直线AB，BC，CA共面.,数学运用,证法二：,因为A 直线BC上，,所以过点A和直线BC确定平面.（推论1）,因为A， BBC，所以B.,故AB ，同理AC ，,所以AB，AC，BC共面.,证法三：,因为A，B，C三点不在一条直线上，,所以过A，B，C三点可以确定平面.（公理3）,因为A，B，所以AB .（公理1）,同理BC ，AC ，,所以AB，BC，CA三直线共面.,要证各线共面，先确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内,推论3：经过两条平行的直线有且只有一个 平面.,图形语言：,符号语言：,数学理论,推论3：经过两条平行的直线有且只有一个平面.,证明：,由平行线的定义知,a，b在同一平面内,设点A为直线a上任一点,则点A在直线b外,点A和直线b在过a，b的平面 内,又由推论1，过点A和直线b的平面只有一个,过 a，b 有且只有一个平面,【例3】一条直线和三条平行线都相交, 求证这四条直线共面.,已知：abc , al = A, bl = B ,cl = C 求证：a, b ,c , l共面,数学运用,有二位同学证明如下，请判断正误：,研 讨,a,A,证明：,又al=A,bl=B,ab,a, b, c, l共面.,b,c,B,C,l,经过两条相交直线有且只有一个平面.,课堂练习,2.如图,平面 , , ,且 = a, = b, = c, a b = A. 求证: A c .,1平面的基本性质(公理与推论）,2三个推论的应用（共点、共线、 共面问题）,回顾小结,再见!,