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1第六章 刚体动力学(二)2上节内容回顾:一、刚体定点运动动力学问题的解法1: 矢量力学解法:欧拉动力学方程+欧拉运动学方程;2: 分析力学解法:欧拉角+欧拉运动学方程+拉格朗日方程。二、重刚体定点运动、规则进动1: 规则进动:2: 动力学对称刚体:3: 欧拉情况下的动力学对称刚体必然作规则进动;4: 拉格朗日情况下(动力学对称): 刚体在适当的初条件下可作规则进动;36-3、陀螺近似理论陀 螺: 满足条件 的定点运动刚体。一、陀螺规则进动的条件令:由欧拉运动学方程:4由欧拉运动学方程:欧拉动力学方程:5 可视为大小为, 方向沿节线的矢量在 x ,y 上的投影.而:且:沿节线方向.6即: , 方向沿节线.陀螺基本公式: 已知运动 力二、莱沙尔(Henri Resal)定理在定系中:定理: 刚体对固定点 o 的动量矩 的端点的速度,等于作用于该刚体的所有外力对同一点的主矩.7三、陀螺近似理论如果:则:四、陀螺近似理论的莱沙尔解释8四、陀螺近似理论的莱沙尔解释相对于定系:如果 的大小为常量则当刚体作规则进动时, 的矢端划出一圆。9当刚体作规则进动时, 的矢端划出一圆。由莱沙尔定理:10陀螺力矩:陀螺转子作用在施力体上的反作用力矩陀螺的特性:定向性、进动性、陀螺效应 : 附加动压力11陀螺的特性:1. 定向性:对于动力学对称的欧拉情况(称为平衡陀螺):常矢 如果初始时仅让陀螺绕对称轴作定轴转动,则陀螺将一直绕对称轴作定轴转动。2. 进动性: 如果有外力对o点有矩,则 和对称轴将向力矩(而不是力)的方向偏转。 只要高速旋转物体的自转轴被迫在空间改变方向(即发生强迫进动),就会产生陀螺力矩,出现陀螺效应。3. 陀螺效应:12例:已知 大小均为常量,圆盘质量为m,半径为R,求转轴作用在支座C、D的附加动压力。13由质心运动定理:以上是近似理论。例:14由质心运动定理:近似理论15例:确定一个正方体在空间的位置需要_ 个独立的参数。 A:3;B:4;C:5;D:6。16例:不论刚体作什么运动,刚体上任意两点的速度在两点连线上的投影_。 A:一定相等;B:一定不相等;C:不一定相等。例:如图所示,圆盘以匀角速度 绕CD轴转动,框架以匀角速度 绕铅垂轴转动。则该定点运动圆盘角速度的大小 =_(方向画在图上),角加速度的大小 =_(方向画在图上)。1718例:如图所示,圆柱固连在水平轴 上,并以匀角速度 绕该轴转动,同时框架以匀角速度 绕铅垂轴CO转动。其中:x,y,z是圆柱上关于 点的三个相互垂直的惯量主轴,且圆柱对这三根轴的转动惯量分别为 。则该瞬时圆柱对 点的动量矩:19例:如图所示,正方形框架以匀角速度 绕水平轴AB转动,质量为m半径为R的均质圆盘M以匀角速度 绕正方形框架上的CD轴转动。且 ,CD轴到轴承A、B的距离皆为l。若正方形框架和轴AB的质量不计,求框架运动到铅垂平面内时,圆盘产生的陀螺力矩的大小 ;以及作用在轴承上的约束力的大小 。 =_; =_。20例:如图所示,定点运动的圆锥在水平固定圆盘上纯滚动。若圆锥底面中心点D作匀速圆周运动,则该圆锥的角速度矢量与角加速度矢量 的关系是_ 。A:平行于;B: 垂直于; C:为零矢量;D:为非零矢量。21例:如图所示,具有固定点A的圆锥在固定的圆盘上纯滚动,圆锥的顶角为90,母线长为L,已知圆锥底面中心点D作匀速圆周运动,其速度为v,方向垂直平面ABC向外。求圆锥的角速度、角加速度 和圆锥底面上最高点B的加速度 的大小。 =_ , =_, =_。22例:如图所示,圆盘相对正方形框架ABCD以匀角速度 绕BC轴转动,正方形框架以匀角速度 绕AB轴转动。求该圆盘的绝对角速度的大小和绝对角加速度的大小。 =_; =_。23例:如图所示,半径为R的圆盘以匀角速度 绕框架上的CD轴转动,框架以匀角速度 绕铅垂轴AB转动。求:圆盘在图示位置的最高点速度的大小v,该点的向轴加速度的大小 和转动加速度的大小 。 v =_; =_; =_。24例:如图所示,已知质量为m的定点运动陀螺做规则进动(0为常量),其质心C到球铰链O的距离为L,该陀螺对质量对称轴z的转动惯量为J,且以 绕 z 轴高速旋转,z 轴与 轴的夹角为。求:陀螺的进动角速度 、铰链 O 的约束力在铅垂方向的分量 和水平方向的分量 F 的大小。要求:画出受力图、加速度图;给出解题基本理论和基本步骤。解: 1. 取陀螺研究;2. 受力分析:3. 由动量矩定理:4. 由动量定理:25例:如图所示,圆盘相对正方形框架ABCD以匀角速度每分钟绕BC轴转动2周,正方形框架以匀角速度每分钟 绕AB轴转动2周。求该圆盘的动能及对B点的动量矩。 2627常数例:图示陀螺以匀角速度 绕OB轴转动,而轴OB又匀速地划出一圆锥。如果陀螺中心轴OB的转速为n,BOS= =const,求陀螺的动能及对O点的动量矩。 28从动力学角度,三者不独立。
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