要点梳理1.事件的分类 (1)一般地，我们把在条件S下,_的事件, 叫做相对于条件S的必然事件，简称_. (2)一般地,我们把在条件S下,_的事件, 叫做相对于条件S的不可能事件,简称_.,第十二编 概率与统计,12.1 随机事件的概率,一定会发生,必然事件,一定不会发生,不可能事件,基础知识 自主学习,(3)_统称为相对于条件S的确 定事件，简称_. (4)_的事件,叫做 相对于条件S的随机事件，简称_. (5)_和_统称为事件,一般用大写字 母A，B，C表示. 2.频数、频率、概率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A 是否出现，称_为事件 A出现的频数，称事件A出现的比例 为事 件A出现的频率.,必然事件与不可能事件,确定事件,在条件S下可能发生也可能不发生,随机事件,确定事件,随机事件,n次试验中事件A出现的次数nA,(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增 加，事件A发生的频率_ _，那么把这个常数记作P（A），称为事 件A发生的概率. 3.事件的关系与运算 (1)对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B _发生,这时称事件B包含事件A(或称_ _），记作_（或 ）. (2)若_且_,那么称事件A与事件B相等, 记作_.,某个常数上,逐渐稳定在区间0,1中的,A=B,一定,事件A包含,于事件B,(3)若某事件发生当且仅当事件A发生_事件B发生, 则称此事件为事件A与事件B的并事件(或_)，记作_（或_）.(4)若某事件发生当且仅当事件A发生_事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或_)，记作_（或_）.(5)若AB为_事件（AB= ),那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.(6)若AB为_事件,AB为_事件,那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生.,或,和事件,AB,A+B,且,积事件,AB,AB,不可能,不可能,必然,4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：_. (2)必然事件的概率P（E）=_. (3)不可能事件的概率P（F）=_. (4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥,则P(AB)=_. (5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件,则AB为必然事件. P(AB)=_，P(A)=_.,0P(A)1,1,0,P(A)+P(B),1,1-P(B),基础自测1.下列事件中，随机事件的个数为 （ ） 物体在只受重力的作用下会自由下落； 方程x2+2x+8=0有两个实根； 某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次 数超过10次； 下周六会下雨. A.1 B.2 C.3 D.4 解析 必定发生是必然事件；方程的判别式 =22-48=-280，方程有实根是不可能事件;和 可能发生也可能不发生，是随机事件.,B,2.下列说法： 频率反映事件的频繁程度,概率反映事件发生的可 能性大小;做n次随机试验,事件A发生m次,则事件 A发生的频率 就是事件的概率;百分率是频率, 但不是概率;频率是不能脱离n次试验的试验值,而 概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值； 频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值. 其中正确的是 （ ） A. B. C. D. 解析 由概率的相关定义知正确.,B,3.已知集合A=-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8,从集合 A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的 点，观察点的位置，则事件A=点落在x轴上与事件 B=点落在y轴上的概率关系为 （ ） A.P(A)P(B) B.P(A)P(B) C.P(A)=P(B) D.P(A)、P(B)大小不确定 解析 横坐标与纵坐标为0的可能性是一样的.,C,4.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的 概率为90%,则甲、乙二人下成和棋的概率为（ ） A.60% B.30% C.10% D.50% 解析 甲不输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋， 90%=40%+P, P=50%.,D,5.抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现 奇数点,事件B为出现2点,已知P(A)= P(B)= 则出现奇数点或2点的概率之和为_. 解析 出现奇数点或2点的事件为AB.,题型一 事件的概念及判断 【例1】盒中仅有4只白球5只黑球，从中任意取出一 只球.（1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是 多少？（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是 多少？（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的 概率是多少？ 根据定义,作出判断，注意必然事件、不 可能事件与随机事件的关系.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解 (1)“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可 能发生，因此它是不可能事件，其概率为0.(2)“取出的球是白球”是随机事件,它的概率是(3)“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此它是必然事件，它的概率是1. 由本例可以看到，不可能事件和必然事件虽然是两类不同的事件，但它们可以视为随机事件的两个极端情况,用这种对立统一的观点去看待它们,有利于认识它们的实质及内在联系.,探究提高,知能迁移1 指出下列事件是必然事件、不可能事件 还是随机事件： (1)某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军; (2)同一门炮向同一目标发射多发炮弹，其中50%的 炮弹击中目标； (3)某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的 最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰 巧是朋友的电话号码； (4)技术充分发达后，不需要任何能量的“永动机” 将会出现. 解 根据必然事件、不可能事件及随机事件的定义, 可知(1)、(2)、(3)是随机事件,(4)是不可能事件.,题型二 随机事件的频率与概率【例2】某射击运动员在同一条件下进行练习,结果如 下表所示： (1)计算表中击中10环的各个频率； (2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为 多少？,思维启迪 （1）将m,n的值逐一代入 计算.(2)观察各频率能否在一常数附近摆动，用多次试验的频率估测概率. 解 （1）击中10环的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.93,0.89,0.906.（2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9. 利用概率的统计定义求事件的概率是求一个事件概率的基本方法，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，就用事件发生的频率趋近的常数作为事件的概率.,探究提高,知能迁移2 某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投 篮的结果如下：（1）计算表中进球的频率；（2）这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？,解 (1)由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球 的频率依次为(2)由(1)知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总是在 的附近摆动，可知该运动员投篮一次，进球的概率约为,题型三 互斥事件、对立事件的概率【例3】（12分）一盒中装有大小和质地均相同的12 只小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿 球.从中随机取出1球，求（1）取出的小球是红球或黑球的概率；（2）取出的小球是红球或黑球或白球的概率. ,设事件,分析事件的性质,根据互斥事件概率求法求解,思维启迪,解 记事件A=任取1球为红球； B=任取1球为黑球；C=任取1球为白球；D=任取1球为绿球， 6分(1)取出1球为红球或黑球的概率为 8分(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P2=P(A)+P(B)+P(C) 12分 12分,探究提高 （1）解决此类问题,首先应结合互斥事 件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算.（2）求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算.二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=1-P( ),即运用逆向思维（正难则反）,特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便.,知能迁移3 黄种人群中各种血型的人所占比例如下: 已知同种血型的人可以输血,O型血可以输给任一种 血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明 是B型血，若小明因病需要输血，问： (1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少？ 解 (1)对任一人，其血型为A,B,AB,O型血的事件 分别记为A,B,C,D，它们是互斥的,由已 知,有: P(A)=0.28，P(B)=0.29， P(C)=0.08，P(D)=0.35.,因为B、O型血可以输给B型血的人,故“可以输给B型血的人”为事件BD，根据互斥事件的加法公式，有P(BD)=P(B)+P(D)=0.29+0.35=0.64.(2)方法一 由于A，AB型血不能输给B型血的人,故 “不能输血给B型血的人”为事件AC，且P(AC)=P(A)+P(C)=0.28+0.08=0.36.方法二 BD的对立事件为ACP(AC)=1-P(BD)=0.36.,1.必然事件、不可能事件、随机事件是在一定条件下 发生的，当条件变化时，事件的性质也发生变化.2.必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊 情况,因此,任何事件发生的概率都满足:0P(A) 1.3.随机事件在相同条件下进行大量试验时，呈现规律 性，且频率 总是接近于常数P(A),称P(A)为事件 A的概率.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,4.求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法:一 是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利 用概率加法公式求其值;二是求此事件A的对立事件 的概率，然后利用P(A)=1-P( )可得解.1.正确区别互斥事件与对立事件的关系:对立事件是 互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一 定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分 条件.,失误与防范,2.从集合的角度看，几个事件彼此互斥,是指由各个 事件所含的结果组成的集合彼此互不相交,事件A的 对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件 A所含的结果组成的集合的补集.3.需准确理解题意，特别留心“至多”,“至少 ”，“不少于”等语句的含义.,一、选择题 1.把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分给甲、乙、 丙、丁四个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌” 与事件“乙分得红牌”是 ( ) A.对立事件 B.不可能事件 C.互斥事件但不是对立事件 D.以上答案都不对 解析 由互斥事件和对立事件的概念可判断.,C,定时检测,2.已知某厂的产品合格率为90%,抽出10件产品检查, 则下列说法正确的是 ( ) A.合格产品少于9件 B.合格产品多于9件 C.合格产品正好是9件 D.合格产品可能是9件 解析 因为产品的合格率为90%，抽出10件产品,则 合格产品可能是1090%=9件，这是随机的.,D,3.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从 中任取1本，取出的是理科书的概率为 （ ） A. B. C. D. 解析 记取到语文、数学、英语、物理、化学书分 别为事件A、B、C、D、E,则A、B、C、D、E互斥, 取到理科书的概率为事件B、D、E概率的并. P（BDE）=P（B）+P（D）+P（E）,C,4.福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物,每组福娃 都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和 “妮妮”这五个福娃组成.甲、乙两位好友分别从 同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先 甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友 所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一 个被选中的概率为 （ ） A. B. C. D.,解析 本题分甲选中吉祥物和乙选中吉祥物两种情 况，先甲选后乙选的方法有54=20种，甲选中乙没有选中的方法有23=6种,概率为 乙选中甲没有选中的方法有23=6种,概率为 恰有一个被选中的概率为 答案 C,5.一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小 相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在 一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是