如何证明极限不存在(多篇) 第一篇：证明极限不存在 证明极限不存在二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=k_这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1证明下列极限不存在:(1)lim(_,y)(0,0)_4y2_6+y6;(2)lim(_,y)(0,0)_2y2_2y2+(_-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(_,y)沿直线y=k_y=k_趋近于(0,0)时,有lim(_,y)(0,0)_4y2_6+y6=lim_0k2_6(1+k6)_6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(_,y)沿抛物线y=k_2+_(k0)(_,y)(0,0)趋近于(0,0),则有l. 2 是因为定义域d=(_,y)|_不等于y吗，从哪儿入手呢，请高手指点 沿着两条直线y=2_ y=-2_趋于(0,0)时 极限分别为-3和-1/3不相等 极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等 所以极限不存在 3 lim(_和y)趋向于无穷大(_-5y)/(_+3y) 证明该极限不存在 lim(_-5y)/(_+3y) =lim(_+3y)/(_+3y)-8y/(_+3y) =1-lim8/ 因为不知道_、y的大校 所以lim(_和y)趋向于无穷大(_-5y)/(_+3y) 极限不存在 4 如图用定义证明极限不存在_谢谢! 反证法 若存在实数l，使limsin(1/_)=l， 取=1/2， 在_=0点的任意小的邻域_内，总存在整数n， 记_1(n)=1/(2n+/2)_，有sin=1， 记_2(n)=1/(2n-/2)_，有sin=-1， 使|sin-l| 1/3， 和|sin-l| 1/3， 同时成立。 即|1-l| 1/2，|-1-l| 1/2，同时成立。 这与|1-l|+|-1-l|(1-l)-(-1-l)|=2发生矛盾。 所以，使limsin(1/_)=l成立的实数l不存在。 第二篇：如何证明极限不存在 如何证明极限不存在反证法 若存在实数l，使limsin(1/_)=l， 取=1/2， 在_=0点的任意小的邻域_内，总存在整数n， 记_1(n)=1/(2n+/2)_，有sin=1， 记_2(n)=1/(2n-/2)_，有sin=-1， 使|sin-l| 1/3， 和|sin-l| 1/3， 同时成立。 即|1-l| 1/2，|-1-l| 1/2，同时成立。 这与|1-l|+|-1-l|(1-l)-(-1-l)|=2发生矛盾。 所以，使limsin(1/_)=l成立的实数l不存在。 反证法： 一个数列an极限存在,另一个数列bn极限不存在 假设两数列之和cn的极限存在，那么bn=cn-an极限也存在(两个数列和的极限等于两个数列极限的和) 矛盾 所以原命题成立 令y=_,lim(_,y)趋于(0,0)_y/_+y =lim(_趋于0)_/(2_)=0 令y=_-_,lim(_,y)趋于(0,0)_y/_+y =lim(_趋于0)_-_/_=-1 两种n 由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与(1/n)的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与(1/n)的相应次方刚相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n-+,得0。因此总的结果是当n-+，二项展开式系数项的各项分子乘积与(1/n)的相应项的次方相约，得1。余下分母。于是式一化为： (1+1/n)=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+1/n!(式二) 当n-+时，你可以用计算机，或笔计算此值。这一数值定义为e。 第三篇：证明二重极限不存在 证明二重极限不存在如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。由二重极限的定义知,要讨论lim_0yy0f(_,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(_0,y0)的特殊曲线,如果动点(_,y)沿这些曲线趋于(_0,y0)时,f(_,y)趋于不同的值,则可判定二重极限lim_0yy0f(_,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(_0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如lim_0yy0f(_,y)g(_,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(_,y)-g(_,y)=0,这样做就很容易出错。例如,容易知道lim_0y0_+y_2+y2=0,但是若沿曲线_2y-(_2+y2)=0(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(_,y)1)。为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案 2 若用沿曲线，(，y)一g(，y)=0趋近于(，y0)来讨论，一0g，y。可能会出现错误，只有证明了(，)不是孤立点后才不会出错。o13a1673-3878(_)0l_0l02_02如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。只是略谈一下在判断二重极限不存在时。一个值得注意的问题。由二重极限的定义知，要讨论limf(_，y)不存在，通常_10yy0的方法是：找几条通过(或趋于)定点(_o，yo)的特殊曲线，如果动点(_，y)沿这些曲线趋于(_o，y。)时，f(_，y)趋于不同的值，则可判定二重极限limf(_，y)不存在，这一方i10ry0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过(_o，y。)，并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如2的极限，在判卜iog_，yyy0断其不存在时，不少人找的曲线是f(_，y)一g(_，y)：0，这样做就很容易出错。 3 当沿曲线y=-_+_趋于(00)时，极限为lim(-_+_)/_=-1; 当沿直线y=_趋于(00)时，极限为lim_/2_=0。故极限不存在。 4 _-y+_+y f(_,y)= _+y 它的累次极限存在： _-y+_+y limlim=-1 y- 0_- 0_+y _-y+_+y limlim=1 _- 0y- 0_+y 当沿斜率不同的直线y=m_,(_,y)- (0,0)时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。 第四篇：极限不存在的证明 不如何证明极限不存在 一、归结原则 原理:设f在u0(_0;?”)内有定义，limf(_)存在的充要条件是：对任何含于 _?_0 u(_0;?)且以_0为极限的数列?_n?极限limf(_n)都存在且相等。 “ n? 例如：证明极限limsin _?0 1_ 不存在 12n? 证：设_n? 1n? ?,_n? ? 2 (n?1,2,?)，则显然有 _n?0,_n?0(n?)，si由归结原则即得结论。 ? ?0?0,si?1?1(n?)?_n_n 二、左右极限法 原理：判断当_?_0时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(_)?arctan(因为limarctan( _?0 ? 1_ ) 当_ ?0 时的极限不存在。 1_)? 1_ )? ? 2 _=0，limarctan( _?0 ? ? 2 ，limarctan( _?0 ? 1_ )?lim?arctan( _?0 1_ )， 所以当_?0时，arctan( 1_ )的极限不存在。 三、证明_?时的极限不存在 原理：判断当_? ? 时的极限，只要考察_?与_?时的极限，如果两者 相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(_)?e_在_? _? ? 时的极限不存在 _? _? _ 因为lime?0，lime?；因此，lime?lime _? 所以当_? 四、柯西准则 ? 时，e_的极限不存在。 0” 原理：设f在u(_0;?)内有定义，limf(_)存在的充要条件是：任给? _?_0 ?0 ，存 在正数?(?)，使得对任何_?,_?u0(_0;?)，使得f(_?)?f(_?)?0。 例如：在方法一的例题中，取?0?1，对任何?0，设正数n? _?1 n?,_?1 n?1?，令? 2即证。 五、定义法 原理：设函数f(_)在一个形如(a,?)的区间中有定义，对任何a?r，如果存在 ?0?0，使对任何_?0都存在_0?_,使得f(_0)?a?0,则f(_)在_? _?时没有极限。 例如：证明limcos_不存在 设函数f(_)?cos_，f(_)在(0,?)中有定义，对任何a?r，不妨设a?取?0?120,，于是对任何?0，取?0?0 反证法（利用极限定义） 数学归纳法 第五篇：极限证明 极限证明 1.设f(_)在(?,?)上无穷次可微，且f(_)?(_n)(n?)，求证当k?n?1时，?_， limf(k)(_)?0 _? 2.设f(_)?0sinntdt，求证：当n为奇数时，f(_)是以2?为周期的周期函数；当n为 偶数时f(_)是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和 _ f(n)(_)?0?_n?3.设f(_)在(?,?)上无穷次可微；f(0)f?(0)?0_lim求证：n?1，? ?n，0?_n?_n?1，使f(n)(_n)?0 sin(f(_)?1求证limf(_)存在 4.设f(_)在(a,?)上连续，且_lim?