如何证明等差数列(多篇) 第一篇：如何证明等差数列 如何证明等差数列设等差数列an=a1+(n-1)d 最大数加最小数除以二即 /2=a1+(n-1)d/2 an的平均数为 sn/n=/n=a1+(n-1)d/2 得证 1三个数abc成等差数列，则c-b=b-a c(a+b)-b(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab) b(c+a)-a(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab) 因c-b=b-a，则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab) 即c(a+b)-b(c+a)=b(c+a)-a(b+c) 所以a(b+c),b(c+a),c(a+b)成等差数列 等差：an-(an-1)=常数(n2) 等比：an/(an-1=常数(n2) 等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n2) 等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)_(an+1)(n2). 2 我们推测数列an的通项公式为an=5n-4 下面用数学规纳法来证明： 1)容易验证a1=5_1-4=4，a2=5_2-4=6，a3=5_3-4=11，推测均成立 2)假设当nk时，推测是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(jk) 则sk=a1+a2+ak=5_(1+2+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2 于是s(k+1)=a(k+1)+sk 而由题意知：(5k-8)s(k+1)-(5k+2)sk=-20k-8 即：(5k-8)_-(5k+2)sk=-20k-8 所以(5k-8)a(k+1)-10sk=-20k-8 即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k-35k-8=(5k-8)(5k+1) 所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4 即知n=k+1时，推测仍成立。 3 在新的数列中 an=s =a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n) a(n-1)=s =a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4) an-a(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4) =4d+4d+4d+4d+4d =20d(d为原数列公差) 20d为常数,所以新数列为等差数列上，an=5n-4即为数列的通项公式，故它为一等差数列。 4 a(n+1)-2an=2(an-2an-1)a(，3b+b。3b+2b 所以三边之比为3：4：5 6 设等差数列an=a1+(n-1)d 最大数加最小数除以二即 /2=a1+(n-1)d/2 an的平均数为 sn/n=/n=a1+(n-1)d/2 得证 第二篇：等差数列的证明 等差数列的证明1三个数abc成等差数列，则c-b=b-a c(a+b)-b(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab) b(c+a)-a(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab) 因c-b=b-a，则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab) 即c(a+b)-b(c+a)=b(c+a)-a(b+c) 所以a(b+c),b(c+a),c(a+b)成等差数列 等差：an-(an-1)=常数(n2) 等比：an/(an-1=常数(n2) 等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n2) 等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)_(an+1)(n2). 2 我们推测数列an的通项公式为an=5n-4 下面用数学规纳法来证明： 1)容易验证a1=5_1-4=4，a2=5_2-4=6，a3=5_3-4=11，推测均成立 2)假设当nk时，推测是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(jk) 则sk=a1+a2+ak=5_(1+2+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2 于是s(k+1)=a(k+1)+sk 而由题意知：(5k-8)s(k+1)-(5k+2)sk=-20k-8 即：(5k-8)_-(5k+2)sk=-20k-8 所以(5k-8)a(k+1)-10sk=-20k-8 即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k-35k-8=(5k-8)(5k+1) 所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4 即知n=k+1时，推测仍成立。 3 在新的数列中 an=s =a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n) a(n-1)=s =a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4) an-a(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4) =4d+4d+4d+4d+4d =20d(d为原数列公差) 20d为常数,所以新数列为等差数列上，an=5n-4即为数列的通项公式，故它为一等差数列。 (n-1)_(an+1)=nan-a1(2) (1)-(2) 得到 (2n-2)an=(n-1)_(an-1)+(n-1)(an+1) 2an=an-1+an+1 所以an+1-an=an-an-1 所以数列an是等差数列 那么你就设直角三角形地三条边为a，a+b,a+2b 于是它是直角三角形得到 a +(a+b)_su(感谢访问：)p2;=(a+2b) 所以a +a +2ab+b =a +4ab+4b 化简得a =2ab+3b 两边同时除以b 解得a/b=3即a=3b 所以三边可以写为3b，3b+b。3b+2b 所以三边之比为3：4：5 6 设等差数列an=a1+(n-1)d 最大数加最小数除以二即 /2=a1+(n-1)d/2 an的平均数为 sn/n=/n=a1+(n-1)d/2 得证 第三篇：等差数列证明 设数列an的前n项和为sn，若对于所有的正整数n，都有sn=n(a1+an)/2,求证：an是等差数列 解：证法一：令d=a2a1，下面用数学归纳法证明an=a1+（n1）d（nn_） 当n=1时，上述等式为恒等式a1=a1， 当n=2时，a1+（21）d=a1+（a2a1）=a2，等式成立. 假设当n=k（kn，k2）时命题成立，即ak=a1+（k1）d 由题设，有sk? k(a1?ak)(k?1)(a1?ak?1) ,sk?1?， 22 (k?1)(a1?ak?1)k(a1?ak) ?+ak+1 22 又sk+1=sk+ak+1，所以 将ak=a1+（k1）d代入上式， 得（k+1）（a1+ak+1）=2ka1+k（k1）d+2ak+1 整理得（k1）ak+1=（k1）a1+k（k1）d k2，ak+1=a1+（k+1）1d. 即n=k+1时等式成立. 由和，等式对所有的自然数n成立，从而an是等差数列. 证法二：当n2时，由题设，sn?1? (n?1)(a1?an?1)n(a1?an) ,sn? 22 所以an?sn?sn?1? n(a1?a2)(n?1)(a1?an?1) ? 22 (n?1)(a1?an?1)n(a1?an) ?同理有an?1? 22 从而an?1?an? (n?1)(a1?an?1)(n?1)(a1?an?1) ?n(a1?an)? 22 整理得：an+1an=anan1，对任意n2成立. 从而an是等差数列. 评述：本题考查等差数列的基础知识，数学归纳法及推理论证能力，教材中是由等差数列的通项公式推出数列的求和公式，本题逆向思维，由数列的求和公式去推数列的通项公式，有一定的难度.考生失误的主要原因是知道用数学归纳法证，却不知用数学归纳法证什么，这里需要把数列成等差数列这一字语言，转化为数列通项公式是an=a1+（n1）d这一数学符号语言.证法二需要一定的技巧. 第四篇：等差数列的证明 一、 等差数列的证明 利用等差（等比）数列的定义 在数列an中，若an?an?1?d 二运用等差中项性质 an?an?2?2an?1?an是等差数列 三通项与前n项和法 若数列通项an能表示成an?an?b（a，b为常数）的形式，则数列?an?是等差数列； 若数列?an?的前n项和sn能表示成sn?an2?bn (a，b为常数)的形式，则数列?an?等差数列； 例1.若sn是数列?an?的前n项和，sn?n2,则?an?是(). 等比数列，但不是等差数列.等差数列，但不是等比数列等差数列，而且也是等比数列.既非等比数列又非等差数列 练习：已知数列前n项和sn?n2?2n，求通项公式an，并说明这个数列是否为等差数列。 练习：设数列?an?的前n项的和sn?n2?2n?4,?n?n?， 写出这个数列的前三项a1,a2,a3； 证明：数列?an?除去首项后所成的数列a2,a3,a4?是等差数列。 例2：已知数列?an?满足a1?1，an?2an?1?2 （）求证：数列?n?n?2?， ?an?是等差数列； n?2? （）求数列?an?的通项公式。 练习：已知数列?an?满足a1?2，an?1?an， 1?2an（）求证：数列?1?是等差数列； a?n?（）求数列?an?的通项公式。 第五篇：已知数列an是等差数列,设bn=a2n 1-a2n证明：数列bn是等差数列 已知数列an是等差数列，设2n+12n证明：数列n是等差数列 思路：这个题的方法和上课讲的方法是一致的，你没有做出来，是因为忽略了数列an是等差数列这个条件，这个条件就以为着对于an来说，前后两项的差为常数 证明：设等差数列an的公差为d bn?1?bn 2222?(an?2?an?1)?(an?1?an) ?(an?2?an?1)(an?2?an?1)?(an?1?an)(an?1?an) ?d(an?2?an?1)?d(an?1?an) ?d(an?2?an?1?an?1?an) ?d(an?2?an) ?d?2d ?2d2 已知函数_）_3_，（_）（_2_）_ （）若对任