第2课时函数奇偶性的应用,关键能力合作学习,类型一利用奇偶性求函数的解析式(逻辑推理)【典例】1.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x2-2x-1，求函数f(x)的解析式.2.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=x2+2x，求函数f(x)，g(x)的解析式.,【思路导引】1.已知x0时的解析式，用奇偶性求x0时的解析式，应通过(-x)进行过渡，但别忽视x=0的情况.2.根据函数的奇偶性，用-x代替原式中的x，再利用方程思想分别求出f(x)，g(x)的解析式.,【解析】1.当x0，f(-x)=(-x)2-2(-x)-1=x2+2x-1，因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x)，所以x0时，f(x)=-x2-2x+1，又f(0)=0，故f(x)=,2.因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，由f(x)+g(x)=2x+x2.用-x代替x得f(-x)+g(-x)=-2x+(-x)2，所以f(x)-g(x)=-2x+x2，(+)2，得f(x)=x2.(-)2，得g(x)=2x.,【解题策略】利用奇偶性求函数解析式的思路(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内.(2)利用已知区间内的解析式代入，求未知区间内的解析式.(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x)，从而解出f(x).,【跟踪训练】函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)=-x+1，求f(x)的解析式.【解析】设x0，所以f(-x)=-(-x)+1=x+1，又因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(-x)=-f(x)=x+1所以当x0时f(x)=-x-1.又x=0时，f(0)=0，所以f(x)=,类型二奇偶性、单调性关系的应用(逻辑推理) 角度1比较大小问题【典例】设偶函数f(x)的定义域为R，当x0，+)时，f(x)单调递增，则f(-2)，f()，f(-3)的大小关系是()A.f()f(-3)f(-2)B.f()f(-2)f(-3)C.f()f(-3)f(-2)D.f()f(-2)f(-3),【思路导引】根据偶函数的性质，把f(-2)，f()，f(-3)转化到同一个单调区间0，+)上，再根据函数的单调性比较大小.,【解析】选A.因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(-3)=f(3)，f(-2)=f(2).又当x0，+)时，f(x)单调递增，且32，所以f()f(3)f(2)，故f()f(-3)f(-2).,【变式探究】将典例改为：函数y=f(x)在0，2上单调递增，且函数f(x+2)是偶函数，则下列结论成立的是(),【解析】选B.因为函数f(x+2)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称，所以 又f(x)在0，2上单调递增，所以,角度2解不等式问题【典例】已知定义在-2，2上的奇函数f(x)在区间0，2上单调递减，若f(1-m)f(m)，求实数m的取值范围.【思路导引】根据函数的单调性，判断1-m与m的大小关系，注意函数的定义域，保证1-m与m都在定义域内.,【解析】因为f(x)在区间-2，2上为奇函数，且在区间0，2上单调递减，所以f(x)在-2，2上单调递减.又f(1-m)f(m)，所以 即 解得-1m .故实数m的取值范围是-1m .,【解题策略】比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.,【拓展延伸】利用函数的奇偶性比较大小时，根据奇偶性的对称性质，常需要比较自变量的绝对值的大小，即自变量距离原点的距离.,【拓展训练】定义在R上的偶函数f(x)在0，+)上单调递增，若f(a)bC.|a|b0【解析】选C.因为f(x)是R上的偶函数，且在0，+)上单调递增，所以由f(a)f(b)可得|a|b|.,【题组训练】1.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x20，+)(x1x2)，有 0，则()A.f(3)f(-2)f(1)B.f(1)f(-2)f(3)C.f(-2)f(1)f(3)D.f(3)f(1)f(-2),【解析】选A.根据题意，函数f(x)为偶函数，则f(-2)=f(2)，函数f(x)满足：对任意x1，x20，+)(x1x2)，有 0，则函数f(x)在0，+)上是单调递减的，则f(3)f(2)f(1)，又由f(-2)=f(2)，则f(3)f(-2)f(1).,2.已知偶函数f(x)在区间0，+)上单调递增，则满足条件f(2x+1)f(5)的x的取值范围是()A.(-3，2)B.(-2，3)C.(-2，2)D.-3，2,【解析】选A.因为函数f(x)为偶函数且在区间0，+)上单调递增，则在(-，0)上是单调递减的，f(2x+1)f(5)|2x+1|5，即-52x+15，解得：-3x2，即x的取值范围为(-3，2).,类型三奇偶性、单调性的综合应用(逻辑推理)【典例】已知函数f(x)= 是定义在(-1，1)上的奇函数，且 (1)确定函数f(x)的解析式.(2)用定义证明f(x)在(-1，1)上是增函数.(3)解不等式：f(t-1)+f(t)0.,【思路导引】(1)利用函数奇偶性的性质和 求出函数解析式.(2)利用函数单调性的定义证明.(3)利用奇偶性转化不等式，再利用单调性证明不等式，证明时注意函数的定义域.,【解析】(1)由题意得 所以 故f(x)= (2)任取-10，1+ 0.又-10.,所以f(x1)-f(x2)0，所以f(x)在(-1，1)上是增函数.(3)f(t-1)-f(t)=f(-t).因为f(x)在(-1，1)上是增函数，所以-1t-1-t1，解得0t .所以不等式的解集为,【解题策略】奇偶性、单调性的综合应用利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值.解题时，一定要特别注意函数的定义域.,【跟踪训练】已知函数f(x)=x2+2ax-1.(1)若f(1)=2，求实数a的值，并求此时函数f(x)的最小值.(2)若f(x)为偶函数，求实数a的值.(3)若f(x)在(-，4上单调递减，求实数a的取值范围.,【解析】(1)由题意可知，f(1)=1+2a-1=2，即a=1，此时函数f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2-2，故当x=-1时，f(x)min=-2.(2)若f(x)为偶函数，则对任意xR，f(-x)=(-x)2+2a(-x)-1=f(x)=x2+2ax-1，即4ax=0，故a=0.,(3)因为函数f(x)=x2+2ax-1的单调递减区间是(-，-a，而f(x)在(-，4上单调递减，所以4-a，即a-4，故实数a的取值范围为(-，-4.,课堂检测素养达标,1.若f(x)=ax2+bx+c(a0)是偶函数，则g(x)=ax3+bx2+cx是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数【解析】选A.因为f(x)=ax2+bx+c是偶函数，所以由f(-x)=f(x)，得b=0.所以g(x)=ax3+cx.所以g(-x)=a(-x)3+c(-x)=-g(x)，所以g(x)为奇函数.,2.下列函数中，既是偶函数又在(0，+)上单调递增的函数是()A.y=x3B.y=|x|+1C.y=-x2+1D.y=,【解析】选B.对于函数y=|x|+1，f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x)，所以y=|x|+1是偶函数，当x0时，y=x+1，所以在(0，+)上单调递增；另外函数y=x3不是偶函数；y=-x2+1在(0，+)上单调递减；y= 不是偶函数.,3.(教材二次开发：练习改编)一个偶函数定义在区间-7，7上，它在0，7上的图象如图，下列说法正确的是()A.这个函数仅有一个单调增区间B.这个函数有两个单调减区间C.这个函数在其定义域内有最大值是7D.这个函数在其定义域内有最小值是-7,【解析】选C.根据偶函数在0，7上的图象及其对称性，作出函数在-7，7上的图象，如图所示，可知这个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是-7.,4.如果奇函数f(x)在区间1，5上单调递减，且最小值为3，那么f(x)在区间-5，-1上()A.单调递增且最小值为3B.单调递增且最大值为3C.单调递减且最小值为-3D.单调递减且最大值为-3【解析】选D.当-5x-1时，1-x5，所以f(-x)3，即-f(x)3.从而f(x)-3，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故f(x)在-5，-1上单调递减.,5.偶函数f(x)在(0，+)内的最小值为2 020，则f(x)在(-，0)上的最小值为_.【解析】由于偶函数的图象关于y轴对称，所以f(x)在对称区间内的最值相等.又当x(0，+)时，f(x)min=2 020，故当x(-，0)时，f(x)min=2 020.答案：2 020,