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一、标准与或表达式1. 2 1. 2 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法1. 2. 1 逻辑函数的标准与或式和最简式标准与或式标准与或式就是最小项之和的形式最小项最简式例 1. 2. 11. 最小项的概念: 包括所有变量的乘积项,每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。( 2 变量共有 4 个最小项)( 4 变量共有 16 个最小项)( n 变量共有 2n 个最小项) ( 3 变量共有 8 个最小项)对应规律:1 原变量 0 反变量2. 最小项的性质:00000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000000 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C(1) 任一最小项,只有一组对应变量取值使其值为 1 ;A B C 0 0 1A B C 1 0 1(2) 任意两个最小项的乘积为 0 ;(3) 全体最小项之和为 1 。变量A、B、C全部最小项的真值表3. 最小项是组成逻辑函数的基本单元 任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成,都可以表示成为最小项之和的形式。例 1. 2. 2 写出下列函数的标准与或式:解相同最小项合并 标准与或表达式是唯一的,一个函数只有一个最小项之和的表达式。函数的标准与或式也可以由其真值表直接写出:例如,已知 Y = A + BC 的真值表A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100011111函数的标准与或式4. 最小项的编号: 把与最小项对应的变量取值当成二进制数,与之相应的十进制数,就是该最小项的编号,用 mi 表示。对应规律:原变量 1 反变量 00 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 10 1 234567m0m1m2m3m4m5m6m7例 写出下列函数的标准与或式:m7m6m5m4m1m0m8m0与前面m0相重二、逻辑函数的最简表达式1. 最简与或式: 乘积项的个数最少,每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或表达式。例如:2. 最简与非 与非式:非号最少,每个非号下面相乘的变量个数也最少的与非 - 与非式。例 1. 2. 3 写出下列函数的最简与非 - 与非式:解3. 最简或与式: 括号个数最少,每个括号中相加的变量的个数也最少的或与式。例 1. 2. 4 写出下列函数的最简或与式:解4. 最简或非 或非式:非号个数最少,非号下面相加的变量个数也最少的或非 或非式。例 1. 2. 5 写出下列函数的最简或非 或非式:解5. 最简与或非式: 非号下面相加的乘积项的个数最少,每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或非式。例 1. 2. 6 写出下列函数的最简与或非式:解结论:只要得到函数的最简与或式,再用摩根定理进行适当变换,就可以获得其它几种类型的最简式。而最简与或式一般需要经过化简才能求得。已知1. 2. 2 逻辑函数的公式化简法一、并项法:例 1. 2. 7例(与或式最简与或式)公式定理二、吸收法:例 1. 2. 8例例三、消去法:例 1. 2. 9例例四、配项消项法:或或例 1. 2. 10例 1. 2. 11冗余项冗余项综合练习:1. 2. 3 逻辑函数的图形化简法一、逻辑变量的卡诺图(Karnaugh maps)卡诺图:1. 二变量 的卡诺图最小项方格图(按循环码排列)(四个最小项)ABAB0101AB01012. 变量卡诺图的画法三变量 的卡诺图:八个最小项ABC010001 10 1111 10卡诺图的实质:逻辑相邻几何相邻逻辑不相邻逻辑相邻逻辑相邻紧挨着行或列的两头对折起来位置重合逻辑相邻:两个最小项只有一个变量不同逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项,并消去一个因子。如:m0m1m2m3m4m5m6m7五变量 的卡诺图:四变量 的卡诺图:十六个最小项ABCD0001111000 01 11 10 当变量个数超过六个以上时,无法使用图形法进行化简。ABCDE00011110000 001 011 010 110 111 101 100以此轴为对称轴(对折后位置重合)m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21几何相邻几何相邻几何相邻三十二个最小项3. 变量卡诺图的特点:用几何相邻表示逻辑相邻(1) 几何相邻:相接 紧挨着相对 行或列的两头相重 对折起来位置重合(2) 逻辑相邻:例如两个最小项只有一个变量不同化简方法:卡诺图的缺点:函数的变量个数不宜超过 6 个。逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项,并消去一个因子。4. 变量卡诺图中最小项合并的规律:(1) 两个相邻最小项合并可以消去一个因子ABC010001 11 100432ABCD0001111000 01 11 101946(2) 四个相邻最小项合并可以消去两个因子ABCD0001111000 01 11 1004128321011ABCD0001111000 01 11 105713 15BD02810(3) 八个相邻最小项合并可以消去三个因子ABCD0001111000 01 11 1004128321011ABCD0001111000 01 11 105713 15B02810151394612142n 个相邻最小项合并可以消去 n 个因子。总结:二、逻辑函数的卡诺图 根据函数的变量个数画出相应的卡诺图。 在函数的每一个乘积项所包含的最小项处都填 1 ,其余位置填 0 或不填。1. 逻辑函数卡诺图的画法2. 逻辑函数卡诺图的特点用几何位置的相邻,形象地表达了构成函数的各个最小项在逻辑上的相邻性。优点:缺点:当函数变量多于六个时,画图十分麻烦,其优点不复存在,无实用价值。例 1. 2. 12画出函数的卡诺图3. 逻辑函数卡诺图画法举例解 根据变量个数画出函数的卡诺图ABCD0001111000 01 11 10 根据函数的每个乘积项确定函数的最小项,并在相应的位置上填 1 。m0、m1、m2、m31111m12、m13、m14、m151111m0、m4、m8、m1211例 1. 2. 13画出函数的卡诺图解 根据变量个数画出函数的卡诺图ABCD0001111000 01 11 10 根据函数的每个乘积项确定函数的最小项,并在相应的位置上填 1 。m4、m51111m9、m11三、 用卡诺图化简逻辑函数化简步骤: 画出函数的卡诺图 合并最小项: 画包围圈 写出最简与或表达式例 1. 2. 14ABCD0001111000 01 11 1011111111解ABCD0001111000 01 11 1011111111画包围圈的原则: 先圈孤立项,再圈仅有一种合并方式的最小项。 圈越大越好,但圈的个数越少越好。 最小项可重复被圈,但每个圈中至少有一个新的最小项。 必需把组成函数的全部最小项圈完,并做认真比较、检查才能写出最简与或式。不正确的画圈例解 画函数的卡诺图ABCD0001111000 01 11 1011111111 合并最小项: 画包围圈 写出最简与或表达式多余的圈注意:先圈孤立项利用图形法化简函数利用图形法化简函数例解 画函数的卡诺图ABCD0001111000 01 11 101111111111 合并最小项: 画包围圈 写出最简与或 表达式例用图形法求反函数的最简与或表达式解 画函数的卡诺图ABC010001 11 1011110000 合并函数值为 0 的最小项 写出 Y 的反函数的 最简与或表达式1. 2. 4 具有约束的逻辑函数的化简一、 约束的概念和约束条件(1) 约束: 输入变量取值所受的限制例如,逻辑变量 A、B、C,分别表示电梯的 升、降、停 命令。A = 1 表示升,B = 1 表示降,C = 1 表示停。ABC 的可能取值(2) 约束项:不会出现的变量取值所对应的最小项。不可能取值0010101000000111011101111. 约束、约束项、约束条件(3) 约束条件: 在逻辑表达式中,用等于 0 的条件等式表示。000011101110111由约束项相加所构成的值为 0 的逻辑表达式。约束项:约束条件:或2. 约束条件的表示方法 在真值表和卡诺图上用叉号()表示。例如,上例中 ABC 的不可能取值为二、 具有约束的逻辑函数的化简 化简具有约束的逻辑函数时,如果充分利用约束条件,可以使表达式大大化简。1. 约束条件在化简中的应用(1) 在公式法中的应用: 可以根据化简的需要加上或去掉约束项。例化简函数 Y = ABC,约束条件解问题:当函数较复杂时,公式法不易判断出哪些约束项应该加上,哪些应该去掉。(2) 在图形法中的应用: 根据卡诺图的特点(逻辑相邻,几何也相邻),在画包围圈时包含或去掉约束项,使函数最简。例化简函数 Y = ABC,约束条件解 画出三变量函数的卡诺图ABC010001 11 10 先填最小项,再填约束项,其余填 0 或不填。1000 利用约束项合并最小项,使包围圈越大越好,但圈的个数越少越好。 写出最简与或式2. 变量互相排斥的逻辑函数的化简互相排斥的变量:在一组变量中,只要有一个变量取值为 1,则其他变量的值就一定是 0。ABC010001 11 101011 画出该函数的卡诺图 画包围圈,合并最小项 写出最简与或表达式例 1. 2. 16 函数 Y 的变量 A、B、C 是互相排斥的,试用图形法求出 Y 的最简与或表达式。解 根据题意可知约束条件例 化简逻辑函数化简步骤: 画函数的卡诺图,顺序 为:ABCD0001111000 01 11 10先填 1 0111000000 合并最小项,画圈时 既可以当 1 ,又可以当 0 写出最简与或表达式解三、 化简举例例 化简逻辑函数约束条件解 画函数的卡诺图ABCD0001111000 01 11 101111 合并最小项 写出最简与或表达式合并时,究竟把 作为 1 还是作为 0 应以得到的包围圈最大且个数最少为原则。包围圈内都是约束项无意义(如图所示)。注意:
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