7.2一、向量及其线性运算 二、向量的坐标表示 三、向量的数量积与向量积 向量及其运算 第七章 表示法:向量的模 : 向量的大小,一、向量及其线性运算 向量:(又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量自由向量: 与起点无关的向量.单位向量: 模为 1 的向量,零向量: 模为 0 的向量,记作有向线段 M1 M2 ,或 a ,记作 e 或e .或 a .1向量的概念向径:以原点O为起点 的向量叫做向径.或常用粗体r表示，即 a规定: 零向量与任何向量平行 ;若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,记作 ab ;若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, ab ;与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .记作a ;2向量的线性运算1. 向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律 : 交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加 .2. 向量的减法可见3. 向量与数的乘法 是一个数 ,规定 : 它的模为运算律 : 结合律分配律因此 与 a 的乘积是一个新向量, 记作它的方向为例1. 设 M 为解:ABCD 对角线的交点,1向量在数轴上的投影二、向量的坐标表示 有向线段的值的概念: 设有一数轴x， 是轴x上的有向线段 如果数满足 且当 与x轴同向时是正的， 当 反向时是负的， 与x轴那么数叫做轴x上有向线段的 的值， 记作 AB,即= AB。(1) 两向量的夹角设a, b是两个非零向量， 在空间任取一点O， 作 规定不超过的 叫做向量a与b 的夹角. 记作 OABab(2) 点A在x轴上的投影 过A点作与x轴垂直的平面， 交x轴与A点, 则点A叫做点A在x轴上的投影.AAx(3). 向量在轴上的投影设向量 的两个端点A，B在x轴上的投影分别为 与则有向线段 的值 叫做向量 x轴上的投影， 在记作 或 它是一个数值， 可以取正，可以取负，也可以取零 则 a 在轴 u 上的投影为 设 a 与 u 轴正向的夹角为 ,即 投影的性质定理1 设立方体的一条对角线为OM, 一条棱为 OA, 且 求OA 在 OM 方向上的投影. 解: 如图所示, 记 MOA = , 例2.2 向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 M 则沿三个坐标轴方向的分向量,的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式 ,任意向量 r 可用向径 OM 表示.记 设 和 是空间直角坐标系中的任意两点，如图下图所示 因为M2M1Oyxzr2r1所以其中 上式称为向量 按基本单位向量的分解式. 则设在AB所在直线上求一点 M , 使解: 设 M 的坐标为如图所示及实数得例3. 已知两点即得定比分点公式:点 M 为 AB 的中点 ,于是得中点公式:3. 向量的模与方向余弦的坐标表示对于非零向量 , 我们用a与三条坐标轴的夹角来表示它的方向. 称,为非零向量a 的方向角 我们把 叫做向量a的方向余弦显然 由此得 ea是与a同方向的单位向量。和的模 、在三个坐标轴上的投影、方向余弦和方解:计算向量即在三坐标轴投影分别为：例4. 已知两点向角.解: 已知角依次为求点 A 的坐标 . 则因点 A 在第一卦限 ,故于是故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 例5. 设点 A 位于第一卦限,1两向量的数量积2两向量的向量积 三、数量积 向量积 第七章 一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1. 定义设向量的夹角为 ,称 记作数量积 (点积) .引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为记作故2. 性质为两个非零向量, 则有3. 运算律(1) 交换律(2) 结合律(3) 分配律例1. 证明三角形余弦定理证: 如图 . 则设4. 数量积的坐标表示设则当为非零向量时, 由于两向量的夹角公式 , 得 AMB . 解:则求故例2. 已知三点2两向量的向量积引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量 M :的力 F 作用在杠杆的 P点上 ,则力 F 作用在杠杆上的力向量方向 :(叉积)记作且符合a到b右手规则模 :向量积 ,称引例中的力矩思考: 右图三角形面积S定义新的向量c1. 定义2. 性质为非零向量, 则3. 运算律(2) 分配律(3) 结合律证明略证明:4. 向量积的坐标表示式设则若非零a与b平行，则 或从而所以由上式推得向量 平行的充要条件是向量积的行列式计算法角形 ABC 的面积 . 解: 如图所示,求三例4. 已知三点例5 已知 求与a 和b都垂直的单位 向量 解 设 则 所以 从而与a 和b都垂直的单位向量为 或 内容小结设1. 向量运算加减:数乘:点积:叉积:思考与练习1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .答案:2. 用向量方法证明正弦定理:证: 由三角形面积公式所以因作业