浅谈函数的性质(一道高考题的反思)函数的性质主要是指函数的单调性、 奇偶性、周期性和对称性.它们准确地 刻画了函数自身的规律性。掌握函数的这四个性质对于解决函数问题很有帮助。 现在探讨一下函数的单调性、对称性、奇偶性及周期性这三个方面的关系。由2018年高考数学全国卷H 道高考题目说起。【理数“题】已知f(x)是定义域为(，+)的奇函数，满足f (1-x)- f(1-X).若f(1) =2 ,贝!jf(1) + f(2) + f(3)+(l|+f(50)=()A-50B0C2D50解析: f(x)满足 f (1 -x) = f(1+x)，.f (x)关于X =1对称；又V f (x)为(_X,4c)上的奇函数，结合奇偶性和对称性可知f(X)周期为4. f(2) = f (0) =0, f(3) =f (-1) =-f (1) = -2, f (4) = f(0) =0 . f(1) + f(2) + f (3)+f =0f(1) + f (2) + f (50) = 12( f 亠 f (2)+ f (3)+ f(4) + f(1)+ f (2) = 2此题考察了函数的奇偶性、对称性、周期性函数性质综合应用，试题中度偏 难。下面总结关于函数的性质的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关 习题。一、函数的性质总结函数的单调性:f(X)在区间M上是递增的u - xx uM,当Xi1 _ 2f(x)在区间 M 上是递增的(X x2)(f (Xi) f (x2) 00)f (x)在区间M上是递减的 x ,，当Xi X2时有f(Xi) f (x2)；1 x M2u v在区间M上是递增的 (Xi x2)(f (Xi) f (x2)0 (X)f(x)f(x ) 12 )图象关于原点对称；f (x)是偶函甦f( x)f(xl图象关于y轴对称；3、函数的周期性+ =+= =(1) f (x T)+ =f (X)y f(x)的周期为T_(2) f (x a)f(x b)y f(x)的周期为T |b a|+= ()的周畀为 T= 6(a)(4) y = f(x)关于(a,0)和(b,0)对称 u y = f(x)周期 T=2|b_a|(5) y = f (x)关于 x = a 和(b,0)对称=y= f(x)周期 T=4|b_a|二、走进高考2017年全国卷I5题】函数彳&)在(+上单调递减，且为奇函数.4(x 2) 的x的取值范A. _2,2C. 0,4D匕3解析:.f(x)为奇函数，f(1)_ f( 1)_1 . f (1) f(x 2)” f( 1) 而f(x)在(_门+丿递减，1 x 2 1 , .二 x v 3,故洗X+1【2016年全国卷II 12题】已知函数f(x)(x eR)Wx)=2-f(x),若函数y=y=f(x)图像的交询(xi,yi),F +=(X y)( IIi 1一 B.C2mD4m解析： J( x) 2 f (x) f(x)关于(0对称,=+ V 11而y1 也关于(0对称.XX(X y)+oC)=2(1一)2014v年全国卷II 15题】已知耦函数f x在0,一工单调递减，0 若fx 1=0,则X的取值范,解析：-代x)为偶函数且在0,行递减产 彳化)在(，0递增,又 f(2)0, f( 2)f(2)0若 f(x 1)0,2x12,1x3.