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高等数学基础作业3第4章导数的应用一:单项选择题1:若函数/(尢)满足条件(D ),则存在歹丘仏/几 使得广(自二/何二也)ob-aA:在仏b)内连续B:在仏/?)内可导C:在(“)内连续且可导D:在上内连续,在(以)内可导2:函数/(x) = x2+4x-啲单调增加区间是(D )。A: (-oo,2)B: (-1,1)C:(2,+oo)D: (- 2,+oo)3:函数y = x2+4x-5在区间(-6,6)内满足(A )。A:先单调下降再单调上升C:先单调上升再单调下降B:单调下降D:单调上升4:函数/(兀)满足广(无)=0的点,一定是/(x)的(C )oA:间断点C:驻点B:极值点D:拐点5:设/在仏方)内有连续的二阶导数,兀。丘(以),若/满足(C ),则/(兀) 在兀。取得极小值。A:广(兀。)0,厂(心)=0B:广(讥0,厂(心)=0C:广(兀。)=0,厂(兀。)0D:广(心)=0,广仏。)(06:设/(兀)在(以)内有连续的二阶导数,且广(錯0,广(逹。,则/(兀)在此区间内是(A )oA:单调减少且是凸的 C:单调增加且是凸的B:单调减少且是凹的D:单调增加且是凹的二:填空题1:设/(x)在(d,b)内可导,x0 e(a?&),且当时f r(x0,当兀心时广(尤)0,则心是/(兀)的(极小值)点。2:若函数几x)在点兀。可导,且心是/的极值点,则广山)=(0)3:函数y = ln(l + F)的单调减少区间是(-oo,0)。4:函数.f之的单调增加区间是(0,4-3)。5:若函数/&)在a,b内恒有广(兀)0,则/(x)在a,b上的最大值是(/(a)。6:函数/(x)=2 + 5x-3x3 的拐点是(0,2)。三:计算题1:求函数y = (x + l)(兀-5)2的单调区间和极值。解:yr (x 5尸 + (x + l)2(x 5)= 3(x 5)(x 1)令 yr = 0=X = l;x2 = 5 两个驻点。列表如下:X(-, 1)1/+0y/极大值 y(l)=32(1 ,5)5(5,+8)0+极小值 y(5)=o/2:求函数),=,一?兀+ 3在区间0,3内的极值点,并求最大值和最小值。解:yr = 2x-2 = 2(兀一1),令;/ = 0 = 兀=1 且 xl n y0;xl = y0y(1)二2是极小值点。y(0)=3y(3)=6即y(l)=2是最小值,y(3)=6是最大值3:求曲线y2=2x的点,使其到点4(2,0)的距离最短.设 y2 = 2 兀的一点(x, V2x ljA(2,0)rKl 距离为解:测d(x) = J好 - 0+ (兀 一 2尸 n /&)二 _2二2(匸 2)二=0 y/2x + (x-2)2=2x-2 = 0=x = l= 所求点为(1,/加(1,“)4:圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为仃问当底半径与高分别为多少时,柱体的体积最大?解:如图所示,圆柱体高力与底半径7满足柱体的体积公式为将r2=l2-h2代入得V = n(l2-h2)h求导得Vf = 71(-2/?2 + (I2 一/?2) = 7t(Z2 一3h2)令厂=0得h = 4,并由此解出r = l.即当底半径厂=空高匸/时,3333圆柱体的体积最大.5: 一个体积为的圆柱体,问底半径与高各为多少时表面积最小?解:设圆柱体的底半径为巧高为h,则其表面积为s,s = 2/rx r2 + 2 x r x /?2/rx r2 +2V由0 ,得唯一驻点r = 3|,由实际问题可知,当r = 3;2L时可使用料最2tt2tt省。此时h = -9即当圆柱体的底半径与髙分别为#,与彳时,表面积最小。6:欲做一个底为正方形,容积为625立方米的长方体开口容器,怎样做法用料 最省?解:设长方体的底面边长为兀,则长方体的高力=呼所用材料的面积为心)=* + 4 x x x * +型&o)X$)=21竺,令$)=0,=,=125,得到唯一驻点兀=5,因为本问题存在最小值,且函数的驻点 x唯一,所以当底面边长5(米),高=誉=2.5(米対,所用材料最省。四:证明题1:当x0时,证明不等式x ln(l + X)证明:设 F(a) = -arctanx,则有 F(x) = 1r = 一丁1 + x 1 + JC当x0时,Fx)0,故F(x)单调增加,所以当兀0时有F(x) F(0) = 0,即 不等式x arctan x成立,证毕.2:当兀0时,证明不等式cA x + l.证明:4/(x) = ex-x-l,则ff(x) = ex-l当兀0时,广&) = /-10,是增函数,Rf(0)= e -1=0 当兀0时,f(x) = ex 一 xe)0 = e x)x + .
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