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从核心素养出发,落实推理能力的培养作为数学核心素养之一的推理能力该如何培养,是广大教师关注的 热点问题之一。笔者认为,在数学学习过程中,应以具体学习内容为载体, 以问题解决为主线,通过创设探索情境,引导学生充分思考、动手实践, 充分经历画图、列表、假设、猜想、验证等过程,把培养学生的推理能力 落到实处。本文就人教版四下第九单元“鸡兔同笼” 一课,谈谈笔者的思 考和体会。一、学情分析在学习“鸡兔同笼”问题之前,学生己经有过用假设法解决问题的经 验,但因为鸡兔同笼问题的数量关系比较隐蔽且抽象,中年级学生思维以 具体形象思维为主,他们理解起来有困难。如果没有有效的启发和引导, 一部分学生可能不知道怎样根据假设产生的“矛盾”进行推理。在应用过 程中,有的学生可能会停留在表面素材的认识,不能根据内在数量关系的 特征來理解和应用,造成“只知鸡兔,不知其他”,碰到类似的问题无从 下手,也就是不会类比联想,不能学以致用。二、教学策略建议本节课应让学生亲身经历鸡兔同笼问题解决的过程,通过猜想验证、 讨论交流等方式,让学生在推理思考的过程中了解和感悟数学思想,掌握 不同的解题策略和方法。就具体方法而言,主要有画图法、列表法、假设 法等。1. 画图尝试,直观推理。用画图法解决鸡兔同笼?题,部分教师觉得既费时乂麻烦,在教学过 程中不重视给予呈现和引导。但笔者认为,画图法至少有三个好处:英一, 内隐的数量关系以直观的手段呈现,体现了几何直观的高级思维方式,冇 利于发展学生解决问题的策略。其二,适应中年级学生以具体形象为主的 思维特点,学生借助直观的手段进行推理,让数学内容变得容易理解。英 三,数与形之间的变化,让数学学习过程变得新奇有趣,有利于激发学生 学习数学的积极情感。在例1教学中,鸡兔数量总和比较少(8只),可以先尝试用画图法进 行直观推理。教师可以先教学生用简图表示鸡和兔,本题讲的是头和腿的 问题,所以可以用表示头,用“丨”表示腿。然后,可以让学生自 己尝试用画图法解决问题。学生呈现的思路可能有以下两种:其一,先1 只鸡对应1只兔画,画完3只鸡和兔时,还剩下2个头,8条腿,即剩下 2只兔,总共是3只鸡和5只兔。其二,分别画4只鸡和4只兔,发现腿 的总条数少了 2只腿,把一只鸡换成一只兔,变成3只鸡和5只兔。在第 一种思路中,在学生分别画了 3只鸡和3只兔时,教师可以依次提问如下:“还剩下儿个头儿只腿没有画? ” “剩下2个头8条腿,说明剩下的动物 可能是2只鸡吗?必可能是1只鸡1只兔吗?必为什么是剩下2只兔? ” 通过上述提问启发学生完成思维推理过程。在第二种思路中,应先引导学 生发现推理中的矛盾:鸡兔总数满8只,腿还差2条。然后让学生围绕以 下问题进行讨论:“腿差2条,可以再画1只鸡吗? ” “如何在不改变鸡兔 总数的前提下解决少2条腿的问题? ”“这时候鸡有儿只?兔有儿只? ” 推理的特征在于严密性和逻辑性,上述这些问题的设计,既可以帮助学生 自主完成思维推理的过程,还可以启发学生在思考讨论的过程中感受推理 的特征。2. 表格调整,比较推理。画图法虽然直观,但如果鸡兔总数比较多,又需耍逐一枚举各种情况 的时候,可以用表格法解决问题。这也是初中数学常用的解题方法。很多 学生不愿意使用逐一枚举的方法,认为太烦琐,有些教师也不够重视。其 实,表格法看上去烦琐,但是对于培养推理能力而言却又独具价值。借助 列表,学生可以把所冇的情况逐一展现,能做到既不重复也不遗漏,培养 学生有序思考的习惯。也可以让学生观察表格中数字的变化特征,发现隐 藏的数量关系和规律。在借助表格法解决鸡兔同笼问题时,学生呈现的策 略一般有三种:逐一枚举、取中枚举或极值列表。在用逐一枚举法列表时,教师可以先呈现“鸡兔一共有8只”这个条 件帮助学生做一些必要的梳理,如“鸡兔分别冇几只,一共冇几种可能? ” 逐一枚举的过程其实就是一个推理的过程,教师耍注意训练学生做到不重 复不遗漏,当然,也可以观察算式对称性特点(如0+8, 1+7, 2+6, 3+5, 4+4, 5+3等),得到一共有9种可能,这就提升了推理的思维活动经验。值得一提的是,学生尝试用枚举验证的方法时,如果按顺序依次枚举, 最少尝试4次就可以找到答案,反之,如果是杂乱的枚举,最多需要9次 才能找到正确结果。当然,教师不应满足于解决鸡兔只数的问题,可以呈 现所有的情况,让学生观察其中的规律,如表1。讣学生明白,“在鸡兔总数不变的情况下,鸡每增加一只,总腿数就 减少2条”,反之,“在鸡兔总数不变的情况下,兔每增加一只,总腿数就 增加2条”。明白了这个道理,教师可以从优化推理的角度引导学生不断 优化枚举的过程。如,当枚举出现“5只鸡3只兔”的时候,总腿数需要 增加4条,只要把其中的2只鸡换成2只兔即可。教师还可以借助表格让 学生充分举例进行推理调整,比如出现“7只鸡1只兔、2只鸡6只兔时” 让学生充分说理,多次经历推理思考过程。有的学生可能会根据总数为8这个偶数特征,提出取中枚举的思路, 即从“4只鸡,4只兔”出发,进行推理。教师可以抓住推理过程中的矛 盾,启发学生思考并表达自己的看法:“当鸡兔只数都为4只时,比总腿 数少了2条,该怎么办? ”“把兔换成鸡还是把鸡换成兔?为什么? ”“需 要把几只鸡换成兔?为什么? ”3. 假设推理,优化推理。前面己经提到,如果仅从“鸡兔总数共8只”这个条件出发进行假设, 一共可以呈现9种不同的情况,但冇些极端的假设可以用推理的方式排除, 比如问学生“这8只有可能都是鸡吗?有可能都是兔吗?为什么? ”学生 很容易排除这两种假设。但这种假设是不是都没冇意义呢?笔者认为,假 设是推理的前提,教材中呈现的假设法其实就是利用这种极端的情况一一 “假设全部是鸡或全部是兔”来思考推理。从这个思维层面上讲,列表英 实也是假设法的一种表现形式,假设法可以看成是对列表法的进一步抽象 和提升。因此,教学“鸡兔同笼”问题,耍把假设的思想方法作为解决“鸡 兔同笼”问题所有方法中最基本的解题方法,在教学中应该将直观的列表 法与抽象的假设法进行沟通与联系,借助列表讣学生真正理解假设法,以发展学生的思维能力。值得一提的是,学生在用假设法进行解题时,经常会遇到张冠李戴的尴尬:只知机械套用假设法思路列式计算,却不知 道算出来的结果是鸡的只数还是兔的只数,或者误认为假设是兔(鸡), 求出來的也是兔(鸡)。这都说明学生并没冇真正理解假设法。因此,在 教学过程中更有必耍让学生经丿力清晰的推理过程,这个推理过程的核心其 实是替换的思路,教师可设计一些环环相扣的问题让学生充分经历逻辑推 理的过程。例如,“假设全是鸡,会遇到什么问题? ” “如果是总腿数多了 耍怎么办?总腿数少了又耍怎么办? ” “如果是把鸡(兔)换成兔(鸡), 求出來的结果是谁的只数?为什么? ”当然,在掌握鸡兔同笼的结构特征和解题方法Z后,教师还可以再 通丫变式练习进行拓展,比如用鸡兔同笼问题的思维方式解答“龟鹤问 题”,或者“自行车三轮车”等问题。在变式练习的过程中应注意引导学 生从结构特征和数量关系方面来实现推理思考,经丿力问题解决的过程。三、教学片段例举【教学片段1】师:如果不列表,你能计算出鸡和兔的只数吗?师:除了用列表法,我们还可以用假设法来解答。(1)假设全是鸡。师:假设全是鸡,会遇到什么问题?生:8只鸡就有16条腿,就比总腿数少了 10条腿。师:为什么? 生:8只中有一些是兔,把它们算作是鸡了。 生:1只兔看作是1只鸡,就少算了 2条腿。 师:那我们要怎么办?生:要把鸡换成兔,因为这样腿数才能增加。师:替换之后,鸡兔总数会变化吗?生:不会。师:如果把鸡换成兔,求出来的结果是谁的只数?生:因为1只鸡换成1只兔,就会多2条腿,10除以2等于5,所以 耍5只兔去换鸡,求出来就是兔的只数。师:那鸡的只数你会求吗?生:8-5=3 o让学生列式解答,并说出每道算式的意义。假设全是兔(方法同上)总结:在假设法解题时,如果假设全部都是鸡,先求出来的是谁的只 数?如果假设全部都是兔,先求出來的是谁的只数?【教学片段2】习题1:冇龟和鹤共40只,龟的腿和鹤的腿共冇112条。龟、鹤各冇 儿只?师:上面这个问题和“鸡兔同笼”问题有什么相似之处?生:鹤是2条腿,龟是4条腿。生:我们可以把鹤看作是2条腿的鸡,把龟看作是4条腿的兔。师:你会用鸡兔同笼问题的方法解答这道题吗? 学生独立解答,集体评议。习题2:自行车和三轮车共10辆,总共冇26个轮子。自行车和三轮 车各有多少辆?师:这道题和鸡兔同笼问题有什么不同?生:这次变成了 2条“腿”的自行车和3条“腿”的三轮车了,腿的 条数变了。师:还可以用鸡兔同笼的方法来解答这道题吗?生:还可以用假设法解答。让学生独立解答,有困难时教师予以引导。(作者单位:湖北省红安县实验小学)
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