数学高中联赛平面几何题 2021年全国高中数学联赛加试平面几何题的推广 原题（2022年全国高中数学联赛加试试题）如图1，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E，F，满足BAE=CAF，作FMAB，FNAC（M， N是垂足），延长AE交ABC的外接圆于D.求证：四边形AMDN与ABC的面积相等. 文12对以上问题给出了多种证法，归纳起来主要是根据三角形面积等积变换，构造相似形，利用正弦定理等技巧解决问题.不同解法在解答的过程中，都主要把FMAB，FNAC这一“两垂直”的条件用于证明A，M，F，N四点共圆，从而运用圆的知识解决问题.考虑到平面四点共圆并不需要“两垂直”这么强的条件，因此笔者把“两垂直”的条件弱化为两角相等，可证以下推广依然成立.推广1 如图2，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E，F，满足BAE=CAF，在AB，AC边分别取点M，N，满足AMF=FNC，延长AE交ABC的外接圆于D.求证：四边形AMDN与ABC的面积相等.证明 如图连结MN，与AE交于点H.AMF=FNC=，A， M，F， N四点共圆，FMN=FAC=BAE.AHN=MAH+AMH=FMN+AMH=AMF=.BAD=CAF，ADB=ACF，ABDAFC，A ACD=AAFB.AB? AC=AD? AF.又A， M，F， N四点共圆，由正弦定理得：sinAAFMF=2R=sinMMNAN，AF=sMinNsMinAN.SABC=21AB? ACsinBAC=12AD? AFsinBAC=12ADsMinNsMinANsinBAC=12AD? MNsin=S四边形AMDN.四边形AMDN与ABC的面积相等.原题的条件中，由于BAE=CAF，因此BE与FC是等角共轭的两段线段.根据等角共轭还包括这两个角是在ABC外面的情形，因此，笔者在推广1的基础上，再进行如下推广：推广2 如图3在锐角三角形ABC的BC边延长线上有两点E，F，满足BAE=CAF，在AB，AC边延长线上分别取点M，N，满足AMF=FNP，连结AE与ABC的外接圆交于D.求证：凹四边形AMDN与ABC的面积相等.证明 如图，连结MN，与DA延长线交于点H.AMF=FNP=，A， M， F， N四点共圆，AMN=AFN.又MAH=BAE=CAF，AHN=MAH+AMH=NAF+AFN=FNP=.ADB+ACB=ACF+ACB=180，ADB=ACF.又BAD=CAF，ABDAFC，AADC=AAFB.AB? AC=AD? AF.又A， M， F， N四点共圆，由正弦定理得：sinAAFMF=2R=sinMMNAN，AF=sMinNsMinAN.SABC=12AB? ACsinBAC=12AD? AFsinBAC=12ADsMinNsMinANsinBAC=12AD? MNsin=S四边形AMDN.四边形AMDN与ABC的面积相等.注 笔者在研究的过程中发现，若点M是在AB边内，而点N是在AC边延长线上，则原题所求四边形与三角形的面积就不一定相等了，其中原因，留待有兴趣读者作进一步的研究.参考文献1叶迎东.2022年全国高中数学联赛平面几何题的三种证法.数学通讯，2022（2）：892邹发明.2022年全国高中数学联赛加试平面几何题的5种证法.数学教学通讯，2022（11）：48 5