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精品资料欢迎下载(1) 定义:假如对于函数fx定义域内的任意x 都有 f x= fx,就称 f x为奇函数;假如对于函数 f x定义域内的任意 x 都有 f x=fx,就称 f x为偶函数;假如函数 fx不具有上述性质,就fx不具有 奇偶性 .假如函数同时具有上述两条性质, 就 fx既是奇函数,又是偶函数;留意:1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;2由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x,就 x 也肯定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称);(2) 利用定义判定函数奇偶性的格式步骤:1第一确定函数的定义域,并判定其定义域是否关于原点对称;2确定 f x与 fx的关系;3作出相应结论:如 f x = fx 或 f x fx = 0 ,就 fx是偶函数; 如 f x = f x 或 f x fx = 0 ,就 fx是奇函数(3) 简洁性质:图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称;设 f x, g x 的定义域分别是D1, D 2 ,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶 +偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇既是奇函数又是偶函数的有很多个一、典型例题(一)奇偶性的判定和证明 例1 判定以下函数的奇偶性(1)f xx31x( 2)f xx2( 3)f xx211x2解:( 1)f x的定义域为 ,00, ,关于原点对称 .f xx31x31f xxxf x是奇函数2f x的定义域为 -1,3,关于原点不对称,所以 f x为非奇非偶函数( 3)f x的定义域为 -1,1, 关于原点不对称,且f x0f xf x, f xf xf x既是奇又是偶函数 二 利用函数奇偶性求函数解析式f xf x例 2已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,分析: 函数 f x 是定义在 R 上的奇函数, 所以简洁得出f 0f xx23 x ,求 f x .0 ,而对于 xa0. 偶函数yf x在区间 -b, a 上是增函数;问:函数yf x在区间 a,b 上是增函数仍是减函数?解:设ax1x2b,就bx2x1a.f x在区间 - b, a 上是增函数 ,f x2 f x1 ,又由于 f x是偶函数,f x1f x1, f x2 f x2,f x2 f x1,f x在 a, b上是减函数 .说明:由函数的单调性和奇偶性的定义可以证明:在关于原点对称的两个区间上,偶函数的单调性是相反的,奇函数的单调性是相同的.四利用奇函数偶函数的图像解题例 4设奇函数f x定义域为-5,5,如当x0,5时,f x的图像如下列图,求不等式 f x0的解集 .yO5x解: f x为奇函数,定义域为 -5,5,f x的图像关于原点对称当f x0时, 2x0或2x5即不等式f x0的解集为x|2x0或2x5 五 构造奇函数或偶函数解题已知 f xx5ax3bx8,且f 210,f 2的值.解:令g xf x8x5ax3bx, 就g x是一个奇函数,所以g 2又由于g 20g2 f2 18g 2f 28 2由1 +2 得f 28 +f 28 =0f 210,f 226(六)有关函数奇偶性的综合问题例 6已知函数f x的定义域为 -2,2,函数g xf x1f 32 x(1) 求函数 g x的定义域(2) 如 f x为奇函数,并且在定义域上单调递减,求不等式g x0的解集解: 1 由题意可知2x121x3232x21x522解得 1x5 ,故函数 g x1 5的定义域为( ,)222 2(2)由g x0得f x1f 32x0f x1f 32 xf x为奇函数 ,f x1f 2x3而f x定义域上单调递减x12 x31x522解得 1x22不等式g x01 2二、课堂练习:的解集为( ,21. 判定以下函数的奇偶性(1)f x| x2 | x2 |( 2)f x| x2 | x2 |2 已知函数f x的图像关于原点对称,并且当x0时,f xx22x3, 试求 fx在R上的表达式,补:画出它的图像与它的单调区间已知fx是奇函数,在( 0, +)上是增函数,3求证: fx在( -, 0)上也是增函数4 设f x在 R上 是 偶 函 数 , 在 区 间(-,0)上 单 调 递 增 , 并 且 有f 2 a2a1f 3a 22a1 ,求 a 的取值范畴 .答案: 1.偶函数、奇函数x22 x3 x02. fx0 x0,图略,单调增区间为(,1,1,,单调减区间为x2(-1,0),( 0,1)2x3 x03.略4.0a110、-0.58、9、-1x011、解: f x22 f 3
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