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二次函数复习一、知识要点:1.二次函数的图象在画二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+ )2+ 的形式,先确定顶点( , ),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标.2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a0时,在对称轴左侧y随x的增大而 ;在对称轴的右侧,y随x的增大而 ;简记左减右增,这时当x= 时,y最小值= ;反之当a0时,抛物线开口 当a0时,抛物线开口 ;(2)c的符号由抛物线与y轴交点的纵坐标决定.当c 0时,抛物线交y轴于正半轴; 当c 0时,抛物线交y轴于负半轴;(3)b的符号由对称轴来决定.当对称轴在y轴左侧时,b的符号与a的符号相同;当对称轴在y轴右侧时,b的符号与a的符号相反;简记左同右异.二、典例剖析:例1 (1)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图,则点M(b,)在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限OxyABCD (2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示, 则下列结论:a、b同号;当x=1和x=3时,函数值相等; 4a+b=0;当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是( ) A1个 B2个 C3个 D4个例2(1)若二次函数y =(m + 1)x 2 + m 2 2m 3的图象经过原点,则m的值必为 ( ) A 1和3 B. 1 C.3 D.无法确定 (2)已知抛物线的顶点在坐标轴上,求的值例3如图,已知抛物线()与轴的一个交点为,与y轴的负半轴交于点C,顶点为D(1)直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与轴的另一个交点A的坐标; 四、随堂练习:1.已知函数当m 时,函数的图象是直线;当m 时,函数的图象是抛物线;当m 时,函数的图象是开口向上且经过原点的抛物线2.对于y = ax 2(a0)的图象,下列叙述正确的是( )A.a越大开口越大,a越小开口越小 B.a越大开口越小,a越小开口越大C.| a |越大开口越小,| a |越小开口越大 D.| a |越大开口越大,| a |越小开口越小3.抛物线可由抛物线向 平移 个单位,再向 平移 个单位而得到yCEFDABOx4.若抛物线y=(m-1)x2+2mx+2m-1的图象的最低点的纵坐标为零,则m=_.5.已知二次函数有最小值1,则a与b之间的大小关系是( )Aab Ba=b Cab D不能确定6.已知方程的两根是,-1,则二次函数与x轴的两个交点间的距离为 7.抛物线过点A(2,0)、B(6,0)、C(1,),平行于x轴的 直线CD交抛物线于点C、D,以AB为直径的圆交直线CD于点E、F,则CE+FD的值是 ( ) A2 B4 C5 D68. 如图,已知P的半径为2,圆心P在抛物线运动,当P与坐标轴相切时,圆心P的坐标为 9.函数的图象与x轴有且只有一个交点,求a的值及交点坐标10. (1)将抛物线y12x2向右平移2个单位,得到抛物线y2的图 象,则 y2= ;(2)如图,P是抛物线y2对称轴上的一个动点,直线xt平行于y轴,分别与直线yx、抛物线y2交于点A、B若ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形,求满足条件的t的值 。九年级数学复习十五二次函数应用一、中考要求:会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,应用数形结合思想来解决有关的综合性问题二、知识要点:二次函数应用三、典例剖析:例1.如图,梯形ABCD中,C=90动点E、F同时从点B出发,点E沿折线 BAADDC运动到点C时停止运动,点F沿BC运动到点C时停止运动,它们运动时的速度都是1 cm/s设E、F出发t s时,EBF的面积为y cm2已知y与t的函数图象如图所示,其中曲线OM为抛物线的一部分,MN、NP为线段请根据图中的信息,解答下列问题:(1)梯形上底的长AD=_cm,梯形ABCD的面积_cm2;(2)当点E在BA、DC上运动时,分别求出y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围);(3)当t为何值时,EBF与梯形ABCD的面积之比为1:2.例2已知:RtABC的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中,使其斜边AB与x轴重合(其中OA0,n0),连接DP交BC于点E。当BDE是等腰三角形时,直接写出此时点E的坐标。又连接CD、CP,CDP是否有最大面积?若有,求出CDP的最大面的最大面积和此时点P的坐标;若没有,请说明理由。四、随堂练习:ABCD1.如图,四边形ABCD中,BAD=ACB=90,AB=AD,AC=4BC,设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y,则y与x之间的函数关系式是()ABCD2.将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是 cm23.如图,在圆心角为90的扇形MNK中,动点P从点M出发,沿MNKM运动,最后回到点M的位置。设点P运动的路程为x,P与M两点之间的距离为y,其图象可能是( )。4.从地面垂直向上抛出一小球,小球的高度h(米)与小球运动时间t(秒)的函数关系式是,那么小球运动中的最大高度为 米5.如图,在中,动点从点开始沿边向以的速度移动(不与点重合),动点从点开始沿边向以的速度移动(不与点重合)如果、分别从、同时出发,那么8xy2420(第7题图)经过_秒,四边形的面积最小 6.如图所示,四边形OABC为正方形,边长为6,点A、C分别在x轴,y轴的正半轴上, 点在OA上,且点的坐标为(2,0),P是OB上的一个动点,试求PD+PA和的最小值是( )ABC4D67.如图,某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,为节约资源,现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形(阴影部分)铁片备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x、y应分别为( )Ax10,y14 Bx14,y10 Cx12,y15 Dx15,y128. 如图(1),(2)所示,矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2动点M、N分别从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线上),当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动连接FM、MN、FN,当F、N、M不在同一直线时,可得FMN,过FMN三边的中点作PQW设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒试解答下列问题:(1)说明FMNQWP;(2)设0x4(即M从D到A运动的时间段)试问x为何值时,PQW为直角三角形?当x在何范围时,PQW不为直角三角形?(3)问当x为何值时,线段MN最短?求此时MN的值九年级数学复习十六二次函数应用一、中考要求:1、能用数形结合、归纳等数学思想,根据二次函数的表达式(图象)确定二次函数,并获得更多信息。2、二次函数的应用题是综合运用方程、几何函数、运动型等知识解决问题。二、知识要点:函数应用三、典例剖析:例1如图,抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A(4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为DE(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;(2)在直线EF上求一点H,使CDH的周长最小,并求出最小周长;(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时,EFK的面积最大?并求出最大面积CEDGAxyOBF例2如图,在直角坐标系O中,正方形OCBA的顶点A、C分别在轴、轴上,点B坐标为(6,6),抛物线经过点A、B两点,且(1)求,的值; (2)如果动点E、F同时分别从点A、点B出发,分别沿AB、BC运动,速度都是每秒1个单位长度,当点E到达终点B时,点E、F随之停止运动设运动时间为秒,的面积为S试求出S与之间的函数关系式,并求出S的最大值; 当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出点R的坐标;如果
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