山东省德州市陵城区一中山东省德州市陵城区一中 2017-20182017-2018 学年高二数学下学期期中试题学年高二数学下学期期中试题 理理一、选择题（12560 分）1. 复数等于（ ）A1 B C D 2.已知函数，则（ ）A.B.C.D.3“四边形ABCD是矩形，四边形ABCD的对角线相等” ，补充以上推理的大前提是( )A矩形都是对角线相等的四边形 B正方形都是对角线相等的四边形C等腰梯形都是对角线相等的四边形 D矩形都是对边平行且相等的四边形4. 已知随机变量的概率分布列如下所示：56780401且的数学期望，则( )A B C D5.用反证法证明命题：“设为实数，且，则，”时要给出的假设是（ ）A.都不是正数B.至多有一个正数C. 至多有一个不是正数 D. 至少有一个不是正数6 已知随机变量服从正态分布 N（2，2） ，且 P（4）0.8，则 P（0）( )A0.6 B0.4 C0.3 D0.27. 函数的一个极值点在区间内，则实数的取值范围是（）A B C D8.设曲线在点处的切线的斜率为，则函数的部分图象可以为（ ）9.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ ）A.12 种B.18 种C.24 种D.36 种10.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.11.设，函数的导函数是奇函数，若的一条切线的斜率为，则切点的横坐标是（ ）A.B.C.D.12.函数的导函数，对，都有成立，若，则不等式的解是（ ）A.B.C.D.二、填空题（4520 分）13.，则14 在的展开式中，的系数为 _15.从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有种不同的选法。 （用数字作答）16 对大于 的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂” 仿此，若的“分裂”数中有一个是，则的值为 . 三、解答题17.（1）求；（2）若，求实数的值. 18.数列中，其前项和满足.（1）计算，；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明.19一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为 的函数：，. （）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望20. 学校举办的集体活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得 1 分、2 分、3 分的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择得到相应的分数，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部分数都归零，游戏结束。设选手甲第一关、第二关、第三关的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功互不影响（I）求选手甲第一关闯关成功且所得分数为零的概率(II)设该学生所得总分数为 X,求 X 的分布列与数学期望 21.已知函数.（1）求的单调区间；（2）设，若在存在极值点，求实数的取值范围.22 已知 （）判断在定义域上的单调性；（）若在上的最小值为，求的值；（III）若在上恒成立，试求的取值范围参考答案15D B AA D610 DC A D B 1112 C C13. 214,-1515. 16,917.解：（1）1033zii4 分 10z 5 分（2）(),3z zabi zi 38(6)aaibi 6 分3861aba8 分 7,13ab -1018.解：（1）232345,456SSS 4 分（2）猜想1,2nnSn6 分下面用数学归纳法证明（1）1n 时显然成立7 分（2）假设nk时成立，即1,2kkSk ，那么1nk时118212,1322kkSSkkkk 即1nk时命题成立11 分综合（1） （2）1,2nnSn对一切都成立12 分19.解：（1）记事件 A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数” ，由题意知.51)(2623CCAP 4 分 （2）可取1,2,3,4 -5 11133311166513(1) , (2)210CCCPPCCC， 111111133332211111111654654331(3) , (4)2020CCCCCCCPPCCCCCCC； -9(一个一分) 故的分布列为1234P21103203201-10 .47201420331032211E答：的数学期望为.47 -12 分 20【解析】 （）设甲“第一关闯关成功且所得分数为零”为事件A， “第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件1A， “前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件2A，则1A，2A互斥，13121()=1-=4238P A （）， 2 分2312111()=(1)=4232216P A， 4 分12113( )()()81616P AP AP A 5 分（）X所有可能的取值为 0,1,3,6 6 分37(0)(1)+416P XP A( ) 313(1)=428P X 31211(3)=42328P X 312111(6)=4232216P X 10 分所以，X的分布列为： 11 分731195=0+5+15+35=16881616EX 12 分X0136P716381811621. 解：（1）由题意,00,x 2(1)( )xexfxx2 分,0 , 0,1x ,( )0fx1,x时, ( )0fx故的减区间为,0和增区间为1,5 分（2）( )1xg xeax，0,x( )xg xea6 分g(x)在(0,)上有极值点，( )0g x在(0,)上有实数解由( )0g x得xea，因为 x0,所以 a1,此时 x=lna-10当 xlna 时，( )g x0,当 xlna 时，( )g x1-1222解：（）( )f x的定义域为(0,)221( )axafxxxx1 分当0a 时，因为0 x ( )0fx 因此( )f x在定义域(0,)上为单调递增函数2 分当0a 时，则0 xa ，( )0fx；xa ，( )0fx；此时，( )f x在(0,)a上为单调递增函数，在(,)a上为单调递增函数3 分（） （1）令( )0fx在1, e上恒成立，即0 xaax 令1a ，此时( )f x在1, e上为增函数min3 ( )(1)2f xfa ，得32a （舍去） 4 分（2）令( )0fx在1, e上恒成立，即0 xaax 令ae ，此时( )f x在1, e上为减函数min3 ( )( )12af xf ee ，得2ea （舍去） 5 分（3）当1ea 时，令( )0fx，得0 xa 当01xx时，( )0fx，( )f x在0(1,)x上为减函数当0 xxe时，( )0fx，( )f x在0(, )x e上为增函数min3 ( )()() 12f xfalna 得ae -6综上可知，ae 7 分（III）由2( )f xx，得2lnaxxx，1x ，有3lnaxxx，令3( )lng xxxx，则2( )ln31g xxx9 分令2( )ln31xxx，则211 6( )6xxxxx，1x ，( )0 x，( )x在(1,)上单调递减，( )(1)20 x ，因此( )0g x，故( )g x在(1,)上单调递减，10 分则( )(1)1g xg ，a的取值范围是 1,) 12 分