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福建省莆田市第七中学2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 理一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1已知空间两点P(1,2,3),Q(3,2,1),则P、Q两点间的距离是(A)A6B2C36 D2解析由空间两点间距离公式,得|PQ|6. 2.不论m为何值,直线(m2)xy3m20恒过定点(C)A(3,8)B(8,3)C(3,8) D(8,3)解析直线方程(m2)xy3m20可化为m(x3)2xy20,x3时,mR,y8,故选C3过两点(1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是(A)A BC D2解析由题意,得过两点(1,1)和(3,9)的直线方程为y2x3. 令y0,则x,直线在x轴上的截距为,故选A4方程x2y2ax2aya2a10表示圆,则a的取值范围是(D)Aa Ba1 Da0. a1. 故选D5已知直线l1:(k3)x(4k)y10与l2:2(k3)x2y30平行,则k的值是(C)A1或3 B1或5C3或5 D1或2解析当k3时,两直线显然平行;当k3时,由两直线平行,斜率相等,得. 解得k5,故选C6圆O1:x2y24x6y120与圆O2:x2y28x6y160的位置关系是(A)A内切 B外离 C内含 D相交解析圆O1的圆心O1(2,3),半径r11,圆O2的圆心O2(4,3),半径r23. |O1O2|2,r2r12,|O1O2|r2r1,故两圆内切. 7设、是两个不同的平面,l、m是两条不同的直线,且l,m. (A)A若l,则 B若,则lmC若l,则 D若,则lm解析选项A中,平面与平面垂直的判定,故正确;选项B中,当时,l、m可以垂直,也可以平行;选项C中,l时,、可以相交;选项D中,时,l、m也可以异面. 故选A8某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是(C)A4BC D29如图,BC是RtABC的斜边,PA平面ABC,PDBC,则图中直角三角形的个数是(A)A8 B7C6 D5解析易知PAAC,PAAD,PAAB,BCAD,BCPD,ACAB. 图中的直角三角形分别为PAC,PAD,PAB,ADC,ADB,PCD,PDB,ABC,共8个,故选A10如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为(C)A20 B24C28 D32解析该几何体的表面积由圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面圆的面积组成. 其中,圆锥的底面半径为2,母线长为4,圆柱的底面半径为2,高为4,故所求表面积S242242228. 11用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是13,这截面把圆锥母线分为两段的比是(B)A13 B1(1)C19 D2解析如图由题意可知,O1与O2面积之比为13,半径O1A1与OA之比为1,. 12.已知圆C方程为(x2)2(y1)29,直线l的方程为3x4y120,在圆C上到直线l的距离为1的点有几个(B)A4 B3C2 D1解析圆心C(2,1),半径r3,圆心C到直线3x4y120的距离d2,即rd1. 在圆C上到直线l的距离为1的点有3个. 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13若点(2,k)到直线3x4y60的距离为4,则k的值等于_2或8_. 解析由题意,得4,k2或8. 14两平行直线l1:3x4y20与l2:6x8y50之间的距离为_. 解析直线l2的方程可化为3x4y0,故两平行直线l1、l2之间的距离d. 15若直线xya0与圆x2y22x0相切,则a的值为_1或3_. 解析圆心为(1,0),半径r1,由题意,得1,a1或3. 16.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为_. 三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)直线l经过直线xy20和直线xy40的交点,且与直线3x2y40平行,求直线l的方程. 解析解法一:由,得. 即直线l过点(1,3). 直线l的斜率为,直线l的方程为y3(x1),即3x2y90. 解法二:由题意可设直线l的方程为xy4(xy2)0,整理得(1)x(1)y420,直线l与直线3x2y40平行,2(1)3(1),. 直线l的方程为xy0,即3x2y90. 18(本题满分12分)(2015北京文,18)如图,在三棱锥VABC中,平面VAB平面ABC,VAB为等边三角形,ACBC且ACBC,O、M分别为AB、VA的中点. (1)求证:VB平面MOC;(2)求证:平面MOC平面VAB;(3)求三棱锥VABC的体积. 解析(1)O、M分别为AB、VA的中点,OMVB. 又VB平面MOC,OM平面MOCVB平面MOC. (2)ACBC,O为AB的中点,OCAB. 又平面VAB平面ABC,且OC平面ABC,平面VAB平面ABCABOC平面VAB. 又OC平面MOC平面MOC平面VAB. (3)在等腰直角三角形ACB中,ACBC,AB2,OC1. 等边三角形VAB的面积SVAB. 又OC平面VAB,三棱锥CVAB的体积等于OCSVAB. 又三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等,三棱锥VABC的体积为. 19(本题满分12分)在ABC中,BC边上的高所在的直线方程为x2y10,A的平分线所在的直线方程为y0. 若B的坐标为(1,2),求ABC三边所在直线方程及点C坐标. 解析BC边上高AD所在直线方程x2y10,kBC2,BC边所在直线方程为:y22(x1)即2xy40. 由,得A(1,0),直线AB:xy10,点B(1,2)关于y0的对称点B(1,2)在边AC上,直线AC:xy10,由,得点C(5,6). 20(本题满分12分)(2017江苏,15)如图,在三棱锥ABCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD. 求证:(1)EF平面ABC;(2)ADAC. 解析(1)在平面ABD内,因为ABAD,EFAD,所以EFAB. 又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC. (2)因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCDBD,BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD. 因为AD平面ABD,所以BCAD. 又ABAD,BCABB,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平面ABC. 又因为AC平面ABC,所以ADAC. 21(本题满分12分)已知圆C与y轴相切,圆心在直线x3y0上,且经过点A(6,1),求圆C的方程. 解析圆心在直线x3y0上,设圆心坐标为(3a,a),又圆C与y轴相切,半径r3|a|,圆的标准方程为(x3a)2(ya)29a2,又过点A(6,1),(63a)2(1a)29a2,即a238a370,a1或a37,所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x111)2(y37)212 321. 22(本题满分12分)如图,在四棱锥PABCD中,PACD,ADBC,ADCPAB90,BCCDAD. (1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM平面PAB,并说明理由;(2)证明:平面PAB平面PBD. 解析(1)取棱AD的中点M(M平面PAD),点M即为所求的一个点. 理由如下:因为ADBC,BCAD,所以BCAM,且BCAM,所以四边形AMCB是平行四边形,从而CMAB. 又AB平面PAB,CM平面PAB,所以CM平面PAB. (说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)由已知,PAAB,PACD,因为ADBC,BCAD,所以直线AB与CD相交. 所以PA平面ABCD. 从而PABD. 连接BM,因为ADBC,BCAD,所以BCMD,且BCMD. 所以四边形BCDM是平行四边形. 所以BMCDAD,所以BDAB. 又ABAPA,所以BD平面PAB. 又BD平面PBD. 所以平面PAB平面PBD.
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