学习必备欢迎下载（二）椭圆性质典型例题例1椭圆的一个顶点为02，A，其长轴长是短轴长的2 倍，求椭圆的标准方程分析： 题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解： （1）当02，A为长轴端点时，2a，1b，椭圆的标准方程为：11422yx；（2）当02，A为短轴端点时，2b，4a，椭圆的标准方程为：116422yx例2一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率解：31222cac223ac，3331e说明： 求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可例3已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线01yx交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程解： 由题意，设椭圆方程为1222yax，由101222yaxyx，得021222xaxa，222112aaxxxM，2111axyMM，4112axykMMOM，42a，1422yx为所求例4已知椭圆13422yx，1F、2F为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载使M到左准线l的距离MN是1MF与2MF的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解： 假设M存在，设11yxM，由已知条件得2a，3b，1c，21e左准线l的方程是4x，14xMN又由焦半径公式知：111212xexaMF，112212xexaMF212MFMFMN，11212122124xxx整理得048325121xx解之得41x或5121x 另一方面221x ，则与矛盾，所以满足条件的点M不存在说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算进而根据推理得到的结果，再作判断（3）本例也可设sin3cos2，M存在，推出矛盾结论（读者自己完成）例 5 椭圆192522yx上不同三点11yxA，594，B，22yxC，与焦点04，F的距离成等差数列（1）求证821xx；（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k证明：（1）由椭圆方程知5a，3b，4c由圆锥曲线的统一定义知：acxcaAF12，11545xexaAF同理2545xCFBFCFAF2，且59BF，51854554521xx，即821xx（2）因为线段AC的中点为2421yy，所以它的垂直平分线方程为42212121xyyxxyyy又点T在x轴上，设其坐标为00，x，代入上式，得212221024xxyyx。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载又点11yxA，22yxB，都在椭圆上，212125259xy，222225259xy21212221259xxxxyy代入，且821xx得253640 x。4540590 xkBT例 6 求适合条件的椭圆的标准方程（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点62，；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6分析： 当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222byax求出1482a，372b，在得方程13714822yx后，不能依此写出另一方程13714822xy解： （1）设椭圆的标准方程为12222byax或12222bxay由已知ba2 又过点62，因此有1622222ba或1262222ba 由、，得1482a，372b或522a，132b故所求的方程为13714822yx或1135222xy（2）设方程为12222byax由已知，3c，3cb，所以182a故所求方程为191822yx例 7 已知椭圆1222yx，求过点2121，P且被P平分的弦所在的直线方程分析一： 已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载解法一： 设所求直线的斜率为k，则直线方程为2121xky代入椭圆方程，并整理得0232122212222kkxkkxk由韦达定理得22212122kkkxxP是弦中点，121xx故得21k所以所求直线方程为0342yx分析二： 设弦两端坐标为11yx，、22yx ，列关于1x、2x、1y、2y的方程组，从而求斜率：2121xxyy解法二： 设过2121，P的直线与椭圆交于11yxA，、22yxB，则由题意得1.11212212122222121yyxxyxyx，得0222212221yyxx将、代入得212121xxyy，即直线的斜率为21所求直线方程为0342yx说明： （1）有关弦中点的问题，三种类型： 过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹（ 2）解法二是“点差法” ，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率（ 3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”有关二次曲线问题也适用例 8 椭圆1121622yx的右焦点为F，过点31，A，点M在椭圆上，当MFAM2为最小值时，求点M的坐标分析： 本题关键是求出离心率21e，把MF2转化为M到右准线的距离，从而得最小值一般地，求MFeAM1均可用此法解： 由已知：4a，2c所以21e，右准线8xl：过A作lAQ，垂足为Q，交椭圆于M，故MFMQ2显然MFAM2的最小值为AQ，即M为所求点，因此3My，且M在椭圆上故32Mx所以332，M例 9 求椭圆1322yx上的点到直线06yx的距离的最小值解： 参数方程.sincos3yx，设椭圆上的点为sincos3，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载则距离为263sin226sincos3d当13sin时，22最小值d例 10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率23e，已知点230，P到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P的距离等于7的点的坐标解法一： 设所求椭圆的直角坐标方程是12222byax，其中0ba待定由222222221ababaace可得2143112eab，即ba2设椭圆上的点yx，到点P的距离是d，则4931232222222yybyayxd34213493342222byyyb。其中byb如果21b，则当by时，2d有最大值由题得22237b，由此得21237b，与21b矛盾因此必有21b成立，于是当21y时，2d（从而d）有最大值由题设得34722b，可得1b，2a所求椭圆方程是11422yx由21y及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点213，点213，到点230，P的距离是7解法二： 根据题设条件，可取椭圆的参数方程是sincosbyax，其中0ba，待定，20，为参数由22222221ababaace可得2143112eab，即ba2设椭圆上的点yx，到点230，P的距离为d，则22222223sincos23bayxd精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载49sin3sin34222bbb3421sin3222bbb如果121b，即21b，则当1sin时，2d有最大值由题设得22237b，由此得21237b，与21b矛盾，因此必有121b成立于是当b21sin时2d有最大值由题知34722b，1b，2a椭圆的参数方程是sincos2yx由21sin，23cos，可得椭圆上的是213 ，213，例 11 设x，Ry，xyx63222，求xyx222的最大值和最小值分析： 本题的关键是利用形数结合，观察方程xyx63222与椭圆方程的结构一致设mxyx222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值解： 由xyx63222，得123492322yx可见它表示一个椭圆，其中心在023，点，焦点在x轴上，且过（0，0）点和（ 3，0）点设mxyx222，则1122myx它表示一个圆，其圆心为（1，0）半径为11 mm在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示观察图形可知，当圆过（ 0，0）点时，半径最小，即11m，此时0m；当圆过（ 3，0）点时，半径最大，即41m，15mxyx222的最小值为0，最大值为15 例 12 已知椭圆142222bybx上一点P到右焦点2F的距离为b)1(b，求P到左准线的距离解法一： 由142222bybx，得ba2，bc3，23e由椭圆定义，baPFPF4221，得bbbPFbPF34421由椭圆第二定义，edPF11，1d为P到左准线的距离，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载bePFd3211，即P到左准线的距离为b32解法二： edPF22，2d为P到右准线的距离，23ace，bePFd33222又椭圆两准线的距离为bca33822P到左准线的距离为bbb32332338说明： 一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义例 13 已知椭圆19822ykx的离心率21e，求k的值解： 当椭圆的焦点在x轴上时，82ka，92b，得12kc由21e，得4k当椭圆的焦点在y轴上时，92a，82kb，得kc12由21e，得4191 k，即45k满足条件的4k或45k说明： 故必须进行讨论例 14 已知椭圆012222babyaxC：，A、B是其长轴的两个端点（ 1）过一个焦点F作垂直于长轴的弦PP，求证：不论a、b如何变化，120APB（ 2）如果椭圆上存在一个点Q，使120AQB，求C的离心率e的取值范围解： （1）设0，cF，0，aA，0，aBabcPbayaxbcx2222222，于是acabkAP2，acabkBP2APB是AP到BP的角2222242221tancaacabacabacabAPB精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载22ca，2tanAPB，故3tanAPB120APB（2）设yxQ，则axykQA，axykQB由于对称性，不妨设0y，于是AQB是QA到QB的角22222221tanayxayaxyaxyaxyAQB，120AQB，32222ayxay整理得023222ayayx，22222ybaax，0213222ayyba0y， 2232cabyby，bcab2232，232cab，222234ccaa04444224acac，044324ee，232e或22e（舍），136e例 15 设椭圆.sin32,cos4yx(为参数 )上一点P与x轴正向所成角3POx，求P点坐标分析： 利用参数与POx之间的关系求解解： 设)sin32,cos4(P，由P与x轴正向所成角为3，cos4sin323tan，即2tan而0sin，0cos，由此得到55cos，552sin，P点坐标为)5154,554(例 16 设),(00yxP是离心率为e的椭圆12222byax)0(ba上的一点，P到左焦点1F和右焦点2F的距离分别为1r和2r，求证：01exar，02exar解：P点到椭圆的左准线caxl2：的距离，caxPQ20，由椭圆第二定义，ePQPF1，