学习必备欢迎下载2018 版高考数学大一轮复习高考专题突破四高考中的立体几何问题 文 新人教版1正三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC中点，E为A1C1中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为( ) A相交B平行C垂直相交D不确定答案B 解析如图取B1C1中点为F，连接EF，DF，DE，则EFA1B1，DFB1B，平面EFD平面A1B1BA，DE平面A1B1BA. 2设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：x、y、z均为直线；x、y是直线，z是平面；z是直线，x、y是平面；x、y、z均为平面其中使“xz且yz?xy”为真命题的是( ) A B C D 答案C 解析由正方体模型可知为假命题；由线面垂直的性质定理可知为真命题3 (2016成都模拟) 如图是一个几何体的三视图( 侧视图中的弧线是半圆) ，则该几何体的表面积是 ( ) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载A203B243C204D244答案A 解析根据几何体的三视图可知，该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体，其中正方体的棱长为2， 半圆柱的底面半径为1， 母线长为 2， 故该几何体的表面积为452 21220 3. 4. 如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD为正方形，E、F分别为侧棱VC、VB上的点，且满足VC3EC，AF平面BDE，则VBFB_. 答案2 解析连接AC交BD于点O，连接EO，取VE的中点M，连接AM，MF，VC3EC，VMMEEC，又AOCO，AMEO，又EO? 平面BDE，AM平面BDE，又AF平面BDE，AMAFA，平面AMF平面BDE，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载又MF? 平面AMF，MF平面BDE，又MF? 平面VBC，平面VBC平面BDEBE，MFBE，VFFB，VBFB2. 5. 如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点若PAAC，PA6，BC8，DF5. 则直线PA与平面DEF的位置关系是_；平面BDE与平面ABC的位置关系是_(填“平行”或“垂直”)答案平行垂直解析因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA. 又因为PA?平面DEF，DE? 平面DEF，所以直线PA平面DEF. 因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以DEPA，DE12PA3，EF12BC4. 又因为DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF. 又PAAC，DEPA，所以DEAC. 因为ACEFE，AC? 平面ABC，EF? 平面ABC，所以DE平面ABC，又DE? 平面BDE，所以平面BDE平面ABC. 题型一求空间几何体的表面积与体积例 1 (2016全国甲卷) 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H，将DEF沿EF折到DEF的位置精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载(1) 证明：ACHD；(2) 若AB5，AC 6，AE54，OD 22，求五棱锥DABCFE的体积(1) 证明由已知得ACBD，ADCD，又由AECF得AEADCFCD，故ACEF，由此得EFHD，折后EF与HD保持垂直关系，即EFHD，所以ACHD.(2) 解由EFAC得OHDOAEAD14. 由AB5，AC6 得DOBOAB2AO24，所以OH1，DHDH3，于是OD2OH2(22)2 129DH2，故ODOH. 由(1) 知ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面DHD，于是ACOD，又由ODOH，ACOHO，所以OD平面ABC. 又由EFACDHDO得EF92. 五边形ABCFE的面积S126812923694. 所以五棱锥DABCFE的体积V13694222322. 思维升华(1) 若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积(2) 若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解(3) 若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切( 如图) 求：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载(1) 这个正三棱锥的表面积；(2) 这个正三棱锥内切球的表面积与体积解(1) 底面正三角形中心到一边的距离为1332262，则正棱锥侧面的斜高为12223. S侧31226392. S表S侧S底921232(26)29263. (2) 设正三棱锥PABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r. VPABCVOPABVO PBCVOPACVO ABC13S侧r13SABCr13S表r(3223)r. 又VPABC131232(26)2123，(3223)r23，得r23322323223181262. S内切球4(62)2 (40166) . V内切球43 (62)383(9622) . 题型二空间点、线、面的位置关系精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载例 2 (2016济南模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点(1) 求证：平面ABE平面B1BCC1；(2) 求证：C1F平面ABE；(3) 求三棱锥EABC的体积(1) 证明在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC. 因为AB? 平面ABC，所以BB1AB. 又因为ABBC，BCBB1B，所以AB平面B1BCC1. 又AB? 平面ABE，所以平面ABE平面B1BCC1. (2) 证明方法一如图 1，取AB中点G，连接EG，FG. 因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FGAC，且FG12AC. 因为ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1FEG. 又因为EG? 平面ABE，C1F?平面ABE，所以C1F平面ABE. 方法二如图 2，取AC的中点H，连接C1H，FH. 因为H，F分别是AC，BC的中点，所以HFAB，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载又因为E，H分别是A1C1，AC的中点，所以EC1綊AH，所以四边形EAHC1为平行四边形，所以C1HAE，又C1HHFH，AEABA，所以平面ABE平面C1HF，又C1F? 平面C1HF，所以C1F平面ABE. (3) 解因为AA1AC 2，BC 1，ABBC，所以ABAC2BC23. 所以三棱锥EABC的体积V13S ABCAA1131231233. 思维升华(1) 证明面面垂直， 将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题证明C1F平面ABE：( ) 利用判定定理，关键是在平面ABE中找 (作 ) 出直线EG，且满足C1FEG.( ) 利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面C1HF满足面面平行，实施线面平行与面面平行的转化(2) 计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，不能直接用公式时，注意进行体积的转化如图，在三棱锥SABC中， 平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB. 过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点 求证： (1) 平面EFG平面ABC；(2)BCSA. 证明(1) 由ASAB，AFSB知F为SB中点，则EFAB，FGBC，又EFFGF，ABBCB，因此平面EFG平面ABC. (2) 由平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBCSB，AF? 平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC，则AFBC. 又BCAB，AFABA，则BC平面SAB，又SA? 平面SAB，因此BCSA. 题型三平面图形的翻折问题精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载例 3 (2015陕西 ) 如图 1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD2，ABBC12ADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图2 中A1BE的位置，得到四棱锥A1-BCDE. (1) 证明：CD平面A1OC；(2) 当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1-BCDE的体积为362，求a的值(1) 证明在题图 1 中，连接EC，因为ABBC12ADa，BAD2，ADBC，E为AD中点，所以BC綊ED，BC綊AE，所以四边形BCDE为平行四边形，故有CDBE，所以四边形ABCE为正方形，所以BEAC，即在题图2 中，BEA1O，BEOC，且A1OOCO，从而BE平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC. (2) 解由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由 (1) 知，A1OBE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱锥A1-BCDE的高，由题图 1 知，A1O22AB22a，平行四边形BCDE的面积SBCABa2，从而四棱锥A1-BCDE的体积为V13SA1O13a222a26a3，由26a3362，得a6. 思维升华平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化(2017深圳月考 ) 如图 (1) ，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BC精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载PC2，作如图 (2) 折叠，折痕EFDC. 其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后，点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF. (1) 证明：CF平面MDF；(2) 求三棱锥MCDE的体积(1) 证明因为PD平面ABCD，AD? 平面ABCD，所以PDAD. 又因为ABCD是矩形，CDAD，PD与CD交于点D，所以AD平面PCD. 又CF? 平面PCD，所以ADCF，即MDCF. 又MFCF，MDMFM，所以CF平面MDF. (2) 解因为PDDC，PC 2，CD1，PCD60，所以PD3，由 (1) 知FDCF，在直角三角形DCF中，CF12CD12. 如图，过点F作FGCD交CD于点G，得FGFCsin 60 123234，所以DEFG34，故MEPE334334，所以MDME2DE2334234262. SCDE12DEDC1234138. 故VM CDE13MDS CDE136238216. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载题型四立体几何中的存在性问题例 4 (2016四川双流中学月考) 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，平面BMD1N与棱CC1，AA1分别交于点