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海南省海口市2019届高三数学调研测试题 理(含解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算法则,直接计算即可得出结果.【详解】.故选D【点睛】本题主要考查复数的除法,熟记运算法则即可,属于基础题型.2.设集合,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解不等式得到集合,进而可求出交集.【详解】,又,.故选B【点睛】本题主要考查集合的交集,熟记概念即可,属于基础题型.3.某地区的高一新生中,来自东部平原地区的学生有2400人,中部丘陵地区的学生有1600人,西部山区的学生有1000人.计划从中选取100人调查学生的视力情况,现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异,而这三个地区男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )A. 简单随机抽样B. 按性别分层抽样C. 系统抽样D. 按地区分层抽样【答案】D【解析】【分析】根据抽样方法的特征,即可得出结论.【详解】由于该地区东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异,故按地区分层抽样.【点睛】本题主要考查抽样方法,熟记每种抽样方法的特征即可,属于基础题型.4.已知点为双曲线:的左支上一点,分别为的左、右焦点,则( )A. 1B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】由双曲线的方程写求出,结合双曲线的定义即可求解.【详解】由,得,则 .故选B【点睛】本题考查双曲线的定义与基本性质,考查运算求解能力与双曲线定义的应用,属于基础题型.5.设,是等比数列的前三项,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由,是等比数列的前三项,求出,进而可求出公比,即可求出结果.【详解】因为,是等比数列的前三项,所以,解得,所以公比,因此.故选A【点睛】本题主要考查等比数列,熟记等比数列的性质以及通项公式即可,属于基础题型.6.下列不等式正确的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据,用排除法即可得出结果.【详解】,排除A,B,C,故选D.【点睛】本题主要考查三角函数值以及对数比较大小的问题,熟记三角函数与对数函数的性质即可,属于常考题型.7.已知变量,满足约束条件,则的最小值为( )A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域,再由化为,表示直线在轴截距,结合图像即可求出结果.【详解】由约束条件作出可行区域如图,因为可化为,因此最小时,最小,而表示直线在轴截距,结合图像可知,直线过点时,截距最小,即最小;由解得,所以.故选C【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题,通常需要作出可行域,结合目标函数的几何意义求解,属于基础题型.8.的展开式中系数为有理数的各项系数之和为( )A. 1B. 20C. 21D. 31【答案】C【解析】【分析】先写出展开式的通项为:,根据系数为有理数,可得为整数,再由的范围,即可得出结果.【详解】因为展开式的通项为:,因此,要使系数为有理数,只需为整数,又因为且,所以,因此系数为有理数的项为,故所求系数之和为.故选C【点睛】本题主要考查二项式中系数为有理数的问题,熟记二项式定理即可,属于常考题型.9.若直线与曲线相切,则( )A. 3B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】设切点为,对求导,得到,从而得到切线的斜率,结合直线方程的点斜式化简得切线方程,联立方程组,求得结果.【详解】设切点为,由得,代入得,则,故选A.【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题,涉及到的知识点有导数的几何意义,直线方程的点斜式,属于简单题目.10.等差数列的首项为2,公差不等于0,且,则数列的前2019项和为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先设等差数列的公差为,根据题中条件求出公差,得到,再由裂项相消法即可求出结果.【详解】设等差数列的公差为,由,可得,所以,因此,所以,所以 .故选B【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、以及裂项相消法求数列的和,熟记公式即可,属于常考题型.11.某高为4的三棱柱被一个平面截去一部分后得到一个几何体,它的三视图如图所示,则该几何体的体积与原三棱柱的体积之比是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由三视图确定该几何体是四棱锥,结合题中熟记,求出体积,再求出原三棱柱的体积,即可得出结果.【详解】由侧视图、俯视图知该几何体是高为2且底面积为的四棱锥,其体积为.又三棱柱的体积为,故体积比为.故选B【点睛】本题主要考查几何体的三视图以及几何体的体积,熟记公式即可,属于常考题型.12.已知直线与椭圆:相交于,两点,为坐标原点.当的面积取得最大值时,( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先联立直线与椭圆方程,设,由韦达定理得到与,结合弦长公式表示出弦长,进而表示出三角形的面积,根据面积最大值,可求出,代入弦长的表达式,即可得出结果.【详解】由,得.设,则, .又到直线的距离,则的面积 ,当且仅当,即时,的面积取得最大值.此时,.故选A【点睛】本题主要考查椭圆中的弦长问题,通常需要联立直线与椭圆方程,结合韦达定理、以及弦长公式等求解,属于常考题型.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知向量,的夹角为,且,则_【答案】8【解析】【分析】根据向量数量积的概念,列出式子即可求出结果.【详解】因为向量,的夹角为,且,所以即,解得.故答案为【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算,熟记概念即可,属于基础题型.14.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,则的最小正周期是_【答案】【解析】【分析】先由图像的变化得到解析式,再由,即可求出函数的最小正周期.【详解】依题意可得,所以的最小正周期是.故答案为【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换问题以及函数的周期,熟记三角函数的性质即可,属于常考题型.15.若函数有零点,则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据得到,再根据函数单调性,即可求出结果.【详解】因为,所以,又由指数函数的单调性可知,单调递增,因此,函数有零点,只需,解得.故答案为【点睛】本题主要考查函数的零点,熟记指数函数的单调性以及函数零点的概念即可,属于常考题型.16.在空间直角坐标系中,若四面体的外接球的表面积为,则异面直线与所成角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】先由题意得到四面体的外接球即是四面体所在长方体的外接球,再由外接球的表面积求出,从而可得到向量坐标,根据,即可求出结果.【详解】由题意易知,两两垂直,所以四面体的外接球即是四面体所在长方体的外接球,且外接球直径等于体对角线的长,因此,解得,从而,则.故答案为【点睛】本题主要考查几何体中外接球的计算、以及异面直线所成角的计算,熟记公式即可,属于常考题型.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.17.在ABC中,3sinA=2sinB,(1)求cos2C;(2)若AC-BC=1,求ABC的周长【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)先求,由二倍角公式即可求(2)由题得,解得a,b值,再由余弦定理求c边即可求解.【详解】(1),.(2)设的内角的对边分别为.,.由余弦定理可得,则,的周长为.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形,熟记三角的基本关系式,准确运用余弦定理计算c边是关键,是基础题.18.如图,在三棱柱中,底面,点,分别为与的中点.(1)证明:平面.(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】(1)先连接,根据线面平行的判定定理,即可得出结论;(2)先以为原点建立如图所示的空间直角坐标系,求出直线的的方向向量与平面的法向量,由向量夹角公式求出向量夹角余弦值,即可得出结果.【详解】(1)证明:如图,连接,.在三棱柱中,为的中点.又因为为的中点,所以.又平面,平面,所以平面.(2)解:以为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以,.设平面的法向量为,则,令,得.记与平面所成角为,则 .【点睛】本题主要考查线面平行的判定、以及线面角的向量求法,熟记线面平行的判定定理以及空间向量的方法即可,属于常考题型.19.根据某水文观测点的历史统计数据,得到某河流水位(单位:米)的频率分布直方图如下.将河流水位在,各段内的频率作为相应段的概率,并假设每年河流水位变化互不影响.(1)求未来4年中,至少有2年该河流水位的概率(结果用分数表示).(2)已知该河流对沿河工厂的影响如下:当时,不会造成影响;当时,损失50000元;当时,损失300000元.为减少损失,工厂制定了三种应对方案.方案一:不采取措施;方案二:防御不超过30米的水位,需要工程费用8000元;方案三:防御34米的最高水位,需要工程费用20000元.试问哪种方案更好,请说明理由.【答案】(1)(2)工厂应采用方案二.【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图,先得到河流水位的概率,再记“在未来4年中,至少有2年河流水位”为事件,即可由求出结果;(2)记工厂的工程费与损失费之和为,根据题意分别求出三种方案中的期望,比较大小,取期望最小的即可.【详解】解:(1)由频率分布直方图可知河流水位的概率为.记“在未来4年中,至少有2年河流水位”为事件,则 .(2)记工厂的工程费与损失费之和为(单位:元).若采用方案一,则的分布列为0500003000000.780.20.02(元).若采用方案二,则的分布列为80003080000.980.02(元).若采用方案三:(元).因为,所以工厂应采用方案二.【点睛】本题主要考查频率分布直方图、以及离散型随机变量的期望与分布列,熟记概念和公式即可,属于常考题型.20.在直角坐标系中,抛物线:与直线:交于,两点.(1)设,到轴的距离分别为,证明:与的乘积为定值.(2)轴上是否存在点,当变化时,总有?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)见解析(2)存在, 【解析】【分析】(1)先将代入,设,结合韦达定理,即可证明结论成立;(2)先设设为
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