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1某一随机变量的概率分布如下表,且,则的值为(C)A;B;C;D提示:,2若,则下列不等式中不一定成立的是 ( B ) A B C D提示:B中,而时不一定成立3已知集合,则 ( D )A B C D提示:,4设,若是的必要而不充分条件,则实数的取值范围是( A ) A B C D提示:由得:,由得:,又是的必要而不充分条件,所以 且,5已知函数的值域是,则它的定义域可以是( A )A BCD提示:由函数的值域为可得:, 或,即或6已知函数在区间上的最小值是,则的取值范围为( C )A B C D提示:若,则,由图象知:或,所以 或,即;若,同理可得:,故选C7函数是 ( B )A周期为的偶函数 B周期为的非奇非偶函数 C周期为的偶函数D周期为的非奇非偶函数提示:,定义域不关于原点对称,函数既不是奇函数又不是偶函数,又函数的周期为,去掉的点的周期为,所以函数的周期为,故选B8已知函数,其中,则使得在上有解的概率为( A )A B C D提示:任取的值有,而由图象可知当,时不满足条件,当,时满足条件,所以概率为9设双曲线的右顶点为,为双曲线上的一个动点(不是顶点),从点引双曲线的两条渐近线的平行线,与直线分别交于两点,其中为坐标原点,则与的大小关系为( C )A BC D不确定提示:取特殊点,则直线的方程为,又直线的方程为,直线的方程为,解得的坐标为,易得(若设任意点也可得此结果)10平面向量的集合到的映射由确定,其中为常向量若映射满足对恒成立,则的坐标不可能是 ( B )A B C D提示:令,则即,或,故选B二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分0.03750.012550 55 60 65 70 75 体重 11为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前个小组的频率之比为,第小组的频数为,则抽取的学生人数是提示:由图可知前组的频率为,所以第组的频率为,学生人数为 A BC H M12如图,在中,于,为的中点,若,则 提示:三点共线,且,又,13将抛物线按向量平移后所得抛物线的焦点坐标为 提示:抛物线按平移后得抛物线的方程为:,所以其焦点坐标为 14若等差数列的前项和为,且,则 12 提示:由得:,又,所以15给出定义:若 (其中为整数),则叫做离实数最近的整数,记作,即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题:的定义域是,值域是;点是的图像的对称中心;函数的最小正周期为1; 函数在上是增函数; 则其中真命题是_ 提示:依题意知,画图可知正确三、解答题:本大题共6小题,共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步16(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效)已知等比数列中,分别为的三内角的对边,且(1)求数列的公比;(2)设集合,且,求数列的通项公式解:(1)依题意知:,由余弦定理得:,3分而,代入上式得或,又在三角形中,或;6分(2),即且,8分又,所以,或10分17(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)已知为坐标原点,向量,点是直线上的一点,且点分有向线段的比为(1)记函数,讨论函数的单调性,并求其值域;(2)若三点共线,求的值解:依题意知:,设点的坐标为,则:,所以,点的坐标为2分(1),4分由可知函数的单调递增区间为,单调递减区间为,6分 所以,其值域为;8分(2)由三点共线的,10分,12分18. (本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)若关于的实系数方程有两个根,一个根在区间内,另一根在区间内,记点对应的区域为(1)设,求的取值范围;(2)过点的一束光线,射到轴被反射后经过区域,求反射光线所在直线经过区域内的整点(即横纵坐标为整数的点)时直线的方程解:方程的两根在区间和上的几何意义是:函数与轴的两个交点的横坐标分别在区间和内,由此可得不等式组a b A(-4, 3) B C O ,即,则在坐标平面内,点对应的区域如图阴影部分所示,易得图中三点的坐标分别为,4分(1)令,则直线经过点时取得最小值,经过点时取得最大值,即,又三点的值没有取到,所以;8分(2)过点的光线经轴反射后的光线必过点,由图可知可能满足条件的整点为,再结合不等式知点符合条件,所以此时直线方程为:,即12分19(本小题满分13分)(注意:在试题卷上作答无效)已知函数的反函数为,定义:若对给定的实数,函数与互为反函数,则称满足“和性质” (1)判断函数是否满足“1和性质”,并说明理由; (2)若,其中满足“2和性质”,则是否存在实数a,使得对任意的恒成立?若存在,求出的范围;若不存在,请说明理由解:(1)函数的反函数是, 而其反函数为, 故函数不满足“1和性质”; 6分(2)设函数满足“2和性质”,而,得反函数由“2和性质”定义可知=对恒成立,即函数,在上递减,9分所以假设存在实数满足,即对任意的恒成立,它等价于在上恒成立. ,易得.而知所以.综合以上有当使得对任意的恒成立13分20(本小题满分14分)(注意:在试题卷上作答无效)已知椭圆的左、右焦点分别为,若以为圆心,为半径作圆,过椭圆上一点作此圆的切线,切点为,且的最小值不小于为(1)求椭圆的离心率的取值范围;(2)设椭圆的短半轴长为,圆与轴的右交点为,过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点,若,求直线被圆截得的弦长的最大值F2 T O P y x 解:(1)依题意设切线长当且仅当取得最小值时取得最小值,而,2分,从而解得,故离心率的取值范围是;6分(2)依题意点的坐标为,则直线的方程为, 联立方程组 得,设,则有,代入直线方程得,又,10分,直线的方程为,圆心到直线的距离,由图象可知,所以14分21(本小题满分14分)(注意:在试题卷上作答无效)已知曲线,从上的点作轴的垂线,交于点,再从点作轴的垂线,交于点,设(1)求数列的通项公式; (2)记,数列的前项和为,试比较与的大小;(3)记,数列的前项和为,试证明:解:(1)依题意点的坐标为,2分;4分(2),由,当时, ;8分(3),所以易证:,当时,(当时取“”)11分另一方面,当时,有:,又,所以对任意的,都有14分
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