第六讲 裂项计算综合模块一、分数裂项分数裂项的技巧分数裂项实质上是异分母加减法的逆运算，关键找分母上数和分钟上数的和差倍关系。第一类：“裂差”型运算：当分母是两数乘积的形式，分子可表示为分母上两数的差（基本型），则可以进行裂差。两项的裂差非常常见，一定要熟练掌握。第二类：“裂和”型运算当分母是两数乘积形式，分子可表示为分母上两数的和（基本型），这可以进行裂和。例1（1）计算：；（2）。解：（1）原式= =。（2）原式= =。例2（1）计算：= 。（2）计算：= 。解：（1）原式= =。（2）原式= =。模块二、整数裂项：整数裂项的常见形式：；。整数裂项的计算：（适用条件：从1开始，连续相乘）（1）12+23+34+(n1)n=；（2）123+234+345+(n2)(n1)n=；例3（1）计算：13+35+57+1719= 。（2）计算：135+357+579+192123= 。解：（1）原式=1131.（2）原式= =28680.例4计算：11!+22!+33!+20172017!= .解：因为nn!=(n+1)1n!=(n+1)!n!，所以原式=(2!1!)+(3!2!)+(4!3!)+(2018!2017!) =2018!1.模块三、综合通项归纳 一些计算题目中，如果题目中给出的数字有一定的规律，而且题目又比较长，那么我们通常就可以采用字母把每一项用相同的形式表示出来，找出其中的规律，然后根据这个规律对公式进行运算，运用以前学过的巧算方法进行计算，这就是通项归纳的技巧。例5（1）一列算式：，问第10项是多少？第n项化简后的表达式是什么？（2）计算：。解：（1）第10项a10=；第n项an=；（2）第n项an=.原式= =。例6计算：.解：原式= =。随 堂 练 习1计算：；解：原式=。2计算：12+23+34+1819+1920.解：原式=。3计算：147+4710+71013+222528.解：原式=39788.4如图，第（1）个多边形有正三角形“扩展”而来，边数即为a3，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4，依次类推，由正n(n3)边形“扩展”而来的多边形的边数记为an，当n=2017时，的结果是多少？解：a3=12=34，a4=20=45，a5=30=56，所以a2017=20172018，= =。5计算：。解：原式=。