.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。轴对称作图典题探究例 1. 传说在古罗马时代的亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位将军专程去拜访他，想他请叫一个百思不得其解的问题。将军每天都参军营A 出发如图 ，先到河边C 处饮马，然后再去河岸的同侧B 开会，他应该怎样走才能使路程最短？据说当时海轮略加思索就解决了它。CBA现在同学们已经学习了轴对称，可曾想过，被广为流传的“ 将军饮马的问题就是用这一知识解决的。例 2. 在原野上，一个人骑马从A处出发，他先到河边N饮水，再到草场M出放马，然后返回A地，如图，请问他应该怎样走才能使总路程最短？ANM例 3. 1在图3 所示编号为、的四个三角形中，关于y 轴对称的两个三角形的编号为；关于坐标原点O 对称的两个三角形的编号为； 2在图中，画出与 ABC 关于 x 轴对称的 A1B1C1(4)(3)(2)(1)yx-1-2-4-3-5-1-2-4-5-31243512435Oyx-1-2-4-3-5-1-2-4-5-31243512435CBAO.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。例 4. (1)如图 1-1 ，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短? (2) 如图 1-2 ，公园内两条小河集合，两河形成的半岛上有一处古迹P，现方案在两条小河上各修建一座小桥垂直于河岸 ，并在半岛上修三条小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，使修路的费用最少？(3) 如图 1-3 ，公园中有两处古迹P和 Q，现方案在两条小河上各修建一座小桥垂直于河岸，并在半岛上修四条小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，才能使修路的费用最少？ (4)如图 1-4 ，现有一条地铁线路l ，小区 A和小区 B在 l 的同侧， 地铁站两入口C、D间的长度为a 米，现设计两条路AC 、BD连接入口和两小区地铁站入口C、D设计在何处，能使得修建公路AC与 BD的费用和最少？演练方阵A 档稳固专练 1试分别作出图形关于给定直线l的对称图形2. 如图 , ABC与111A B C是轴对称图形，画出它们的对称轴. CABACB3. 如图 , 画出 ABC关于直线l对称的 DEF. .下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。4. 如图 , 在直线 AB上找一点P,使 PC=PD. ABDCABDCABDC5. 如图，有A、B、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到这三个小区的距离相等，画出表示超市的点P. CAB6. 如图 , 有三条穿插的公路, 现要在三条公路穿插所形成的区域内建一货运站, 使得货运站到三条公路的路程一样长 , 请问如何确定货运站P的位置 ? 7. 如图 , 要在公路MN旁修建一个货物中转站, 分别向 A,B 两个开发区运货. 1假设要求货物中转站到A,B 两个开发区的距离相等,那么货物中转站应建在哪里? 2假设要求货物中转站到A，B两个开发区的距离和最小，那么货物中转站应建在哪里？MNABMNAB8. 如图， E ， F分别是 ABC的边 AB ，AC上的两个定点，在BC上求一点M ，使 MEF周长最短 . .下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。BCAEF9. 在原野上，一个人骑马从A 处出发，他先到河边N 饮水，再到草场M出放马，然后返回A 地，如图，请问他应该怎样走才能使总路程最短？ANM10. 如图， AOB=30 , 角内有一点P，PO=10cm, 两边上各有一点Q、R均不同于点O 那么 PQR 的周长的最小值是。RQOPBAB 档提升精练1按要求分别写出各对应点的坐标：2. )4,(),2(bBaA，分别根据以下条件求ba,的值 . (1)BA,关于y轴对称；(2)BA,关于x轴对称；(3)CA,关于x轴对称，CB,关于y轴对称 . 3. 如图，ABC中，CBA,的坐标分别为)2,3(),0,4(),0 ,0(CBA，以DBA,为顶点的三 角形与ABC全等，求平面直角坐标系中所有符合题意的点D的坐标 .下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。4. 如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与ABC关于 x 轴和 y 轴对称的图形 . 5. ：线段AB，并且A、B两点的坐标分别为 2，1和 2，3 1在图中分别画出线段AB关于x轴和y轴的对称线段A1B1及A2B2，并写出相应端点的坐标2在图中分别画出线段AB关于直线x 1 和直线y4 的对称线段A3B3及A4B4，并写出相应端点的坐标6. 如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与ABC 关于 x 轴和 y 轴对称的图形。.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。7. A -1 ，2和 B -3 ， -1 试在 y 轴上确定一点P，使其到A、B的距离和最小，求P点的坐标8如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A1， 1 ，B5，1 ，C5，4 ，D2，4 ，分别写出四边形ABCD关于x轴、y轴对称的四边形A1B1C1D1和A2B2C2D2的顶点坐标9如图，ABC中，点A的坐标为 0，1 ，点C的坐标为 4，3 ，点B的坐标为 3，1 ，如果要使ABD与ABC全等，求点D的坐标10如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。实验与探究：1由图观察易知A0，2关于直线l的对称点A 的坐标为2， 0 ，请在图中分别标明B5，3 、C 2，5关于直线l的对称点B 、C 的位置，并写出它们的坐标：B_ 、C_ ；归纳与发现：2结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点Pa，b关于第一、三象限的角平分线l的对称点P 的坐标为 _ 不必证明 ；运用与拓广：3两点D1， 3 、E 1， 4 ，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E 两 点 的 距 离之和最小，并求出Q点坐标C 档跨越导练1 ：如图， A、B 两点在直线l 的同侧，点A与 A 关于直线l 对称，连接AB 交 l 于 P 点，假设ABa. 1求 AP PB；2假设点M 是直线 l 上异于 P 点的任意一点，求证：AMMB APPB2 ：A、B 两点在直线l 的同侧，试分别画出符合条件的点M1如图，在l 上求作一点M，使得AMBM 最小；作法：.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。2如图，在l 上求作一点M，使得 AMBM最大；作法：3如图，在l 上求作一点M，使得 AM BM 最小3 1如图，点A、B、C 在直线 l 的同侧，在直线l 上，求作一点P，使得四边形APBC 的周长最小；2如图，线段a，点 A、B 在直线 l 的同侧，在直线l 上，求作两点P、Q 点 P 在点 Q 的左侧且PQa，四边形APQB 的周长最小4 1 ：如图，点M 在锐角 AOB 的内部，在OA 边上求作一点P，在 OB 边上求作一点Q，使得 PMQ的周长最小；.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。2 ：如图，点M 在锐角 AOB 的内部，在OB 边上求作一点P，使得点P 到点 M 的距离与点P 到 OA边的距离之和最小5. 如图，一个动点P自 A3,1 出发，先到达x 轴上的某点 ( 设为点 E)，再到达y 轴上某点 ( 设为点 F)，最后运动到点M 1,4 。在图上作出使点P运动的总路径最短的点E、点 F 的位置。.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。轴对称作图参考答案典题探究例 1 解：如下图， 从点 A 出发向河岸引垂线，垂足为 D，在 AD 的延长线上取点A 关于河岸的对称点A，连接BA，与河岸相交于点C，那么 C 点就是饮马的地方，将军只要从点A 出发，沿着直线走到C，饮马后，再由点C 沿直线走到B，所走的路程就是最短的。要解决此题应先利用轴对称把两条线段转化到同一条直线上来，再利用“ 两点之间线段最短这一性质来求解。例 2 解: 如图1作点 A关于 M的对称点A1 2作点 A关于 N的对称点A23连接 A1A2，分别交M 、N 于点 B、C 4连接 AB 、AC 此人走路线ABCA，才能使总路程最短。例 3 关于 y 轴对称的两个三角形的编号为、；关于坐标原点O 对称的两个三角形的编号为、；_ y_ x_ -5_ - 1_ -2_ - 4_ - 3_ -1_ -2_ -4_ -5_ -3_ 1_ 2_ 4_ 3_ 5_ 1 _ 2_ 4_ 3_ 5_ C_ B_ A_ OBCA.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。例 4 解： (1) 如图 1-5 作点 A关于直线l 对称的点A , 连接 A B交直线 l 于点 P点 P即为所求 (2) 如图 1-6 作点 P关于射线OA 、 OD的对称点 P、 P , 连接 P P交 OA于 C，交 OD于 B点 B、C即为所求 . (3) 如图 1-7 作点 P关于射线OB的对称点P、 点 Q 关于射线OA的对称点Q 、, 连接 PQ交 OA于 C，交 OB于 D 点 D、C即为所求 (4) 如图 1-8 作线段 AA 使得 AA 直线l 且 AA =a，做点 A关于直线l 的对称点A , 连接 A B交直线 l 于 D,在直线 l 上截 CD=a 点 D、C即为所求 演练方阵A 档稳固专练1-8 略9. 解 : 如图.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。1作点 A 关于 M 的对称点A1 2作点 A 关于 N 的对称点A23连接 A1A2，分别交 M、 N 于点 B、C 4连接 AB 、AC 此人走路线ABCA，才能使总路程最短。10. 解：如图：PBARQNMO作点 P 关于 OA、 OB 的对称点M、N，连接 MN ，分别交OA、 OB 与 Q、R，那么 Q、R 即为所求的点。此时 PQR 的周长最小。因为PQR 的周长就是的MN 长两点之间线段最短。由图可知 MOA= POA， MOB= POB，MON=2( POA+ POB)=2 AOB=60 ，OM=OP=ON ，所以 MON 是等边三角形。那么MN=10cm ，即 PQR 的周长最小是10cm。B 档提升精练1. 略2. 124ba224ba324ba3. 2, 1，2, 1，2,3，2,34-6. 略7. 47,0P8. 略9. 3 ,4，1,4，3 ,1，1, 110. 略C 档跨越导练1. 1a2连接MA.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。2. 1连接 AB，作 AB 的垂直平分线交l 于 M 点 2作射线BA 交 l 于 M 点 3点 A与 A 关于直线l 对称，连接AB 交 l 于 M 点3. 1点 A与 A 关于直线l 对称，连接AB 交 l 于 P 点 2点 A与 A 关于直线l 对称，点B 向左平移a个单位至B，连接 AB交 l 于 P 点。4. 1作点 M 关于角两边的对称点然后连接，交两边于P 、 Q 2作点 M 关于边 OB 的对称点M，过点 M作边 OA 的垂线交OB 于 P 点。5.