精品资料欢迎下载2021 届高考数学（理）一轮复习教案：其次篇函数与基本初等函数第 3 讲函数的奇偶性与周期性【2021 年高考会这样考】1判定函数的奇偶性2. 利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值3. 考查函数的单调性与奇偶性的综合应用【复习指导】本讲复习时应结合具体实例和函数的图象,懂得函数的奇偶性、周期性的概念, 明确它们在争辩函数中的作用和功能 重点解决综合利用函数的性质解决有关问题基础梳理1. 奇、偶函数的概念一般地,假如对于函数 fx的定义域内任意一个 x,都有 f xfx,那么函数fx就叫做偶函数一般地,假如对于函数 fx的定义域内任意一个 x,都有 f x fx,那么函数 fx就叫做奇函数奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称2. 奇、偶函数的性质EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载(1) 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(2) 在公共定义域内两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数3. 周期性(1) 周期函数： 对于函数 y fx,假如存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 fx Tfx,那么就称函数 yfx为周期函数,称 T 为这个函数的周期(2) 最小正周期：假如在周期函数 fx的全部周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 fx的最小正周期一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件 两个性质(1) 如奇函数 fx在 x 0 处有定义,就 f0 0.(2) 设 fx, gx的定义域分别是 D1 ,D2,那么在它们的公共定义域上： 奇奇奇,奇 奇偶,偶偶偶,偶 偶偶,奇 偶奇EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载三种方法判定函数的奇偶性,一般有三种方法：1定义法； 2图象法； 3性质法 三条结论(1) 如对于 R 上的任意的 x 都有 f2a xfx或 f xf2ax,就 yfx的图象关于直线 xa 对称(2) 如对于 R 上的任意 x 都有 f2ax fx,且 f2b xfx其中 ab,就： yfx是以 2ba为周期的周期函数11(3) 如 fxa fx或 f xaf x 或 fx a f x ,那么函数 fx是周期函数,其中一个周期为 T2a；3如 fxafxbab,那么函数 fx是周期函数,其中一个周期为 T2|a b|.双基自测212021 全国设 fx是周期为 2 的奇函数,当 0x1 时,fx2x1x,就 f 51111EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载A.2B. 4C.4D.25解析 由于 fx是周期为 2 的奇函数,所以 f 25 f 21 f 21 2.应选 A.EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载答案 A122021 福州一中月考 fx xx 的图象关于 A y 轴对称B直线 y x 对称C坐标原点对称D直线 yx 对称11EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载解析 fx的定义域为 ,00, ,又 fxxxxx EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载 fx,就 fx为奇函数,图象关于原点对称 答案 CEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载32021 广东设函数 fx和 gx分别是 R 上的偶函数和奇函数,就以下结论恒成立的是 A fx |gx|是偶函数Bfx|gx|是奇函数C |fx|gx是偶函数D|fx| gx是奇函数解析 由题意知 fx与|gx|均为偶函数, A 项：偶偶偶； B 项：偶偶偶,B 错； C 项与 D 项：分别为偶奇偶,偶奇奇均不恒成立,应选A.答案 A42021 福建对于函数 fxasin x bxc其中, a,bR,cZ,选取 a,b,c 的一组值运算f1和f1,所得出的正确结果确定不行能是A 4 和 6C 2 和 4B3 和 1D1 和 2解析 f1asin 1bc, f1 asin 1bc 且 c Z,f1f12c是偶数,只有 D 项中两数和为奇数,故不行能是D.答案 D52021 浙江如函数 fxx2|x a|为偶函数,就实数 a.解析 法一 fx fx对于 xR 恒成立,|xa| |x a|对于 x R 恒成立,两边平方整理得 ax0 对于 x R 恒成立,故 a0.法二 由 f1f1,得|a1|a1|,得 a0.答案 0EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载考向一判定函数的奇偶性【例 1】.以下函数： fx 1 x2x21； fx x3 x； fx ln xx21 ； fxEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载3x 3 x1xEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载2； fxlg1x.其中奇函数的个数是 A 2B3C4D5 审题视点 利用函数奇偶性的定义判定解析 fx 1x2 x21的定义域为 1,1 ,又 fx fx 0,就 fx 1x2 x21是奇函数,也是偶函数；fx x3x 的定义域为 R,又 fxx3 x x3x fx, 就 fxx3x 是奇函数；由 x x2 1x |x| 0 知 fxln x x21的定义域为 R,又 fxln xx 21ln1x x21 lnx x2 1 fx, 就 fx为奇函数；EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载fx3x3x2的定义域为 R,EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载又 fx3x 3x23x 3x2 fx,EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载就 fx为奇函数；EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载1x由0 得 1x1,fx ln 1x1 x的定义域为 1,1, 1 xEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载1x又 fxln1x1 xln1 x1 ln1 x1 xfx,EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载就 fx为奇函数 答案 D判定函数的奇偶性的一般方法是：1求函数的定义域； 2证明 f xfx或 f x fx成立；或者通过举反例证明以上两式不成立假如二者皆未做到是不能下任何结论的,切忌主观臆断【训练 1】 判定以下函数的奇偶性：4x2 1fx|x3|3；2fxx2 |xa| 2.EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载解 1解不等式组4 x20,|x 3|30,EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载得 2x0,或 0x2,因此函数 fx的定义域是 2,00,2,4x2EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载就 fxfxx.4 x 2x4 x2x fx,EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载所以 fx是奇函数2fx的定义域是 , 当 a0 时, fx x2 |x|2,fx x2 | x|2 x2|x| 2fx 因此 fx是偶函数；当 a0 时, fa a22, fa a2|2a|2, fafa,且 f a fa 因此 fx既不是偶函数也不是奇函数考向二函数奇偶性的应用EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNE