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函 数,一一 映射,反函数,映射,函数,奇偶性,单调性,应用,对数函数,指数函数,知识结构,(一)知识点归纳 1、映射、函数、函数的三要素、函数的单调性、函数奇偶性。 2、反函数,互为反函数的函数图像间的关系。 3、指数,对数;指数函数,对数函数 (二)典例分析 (三)单元测试,例1 函数y=log (x2-2x+3)的定义域为_值域为_,单调增区间为_,减区间为_。 解:x2-2x+30 xR x2-2x+3=(x-1)2+22 y=log (x2-2x+3)-1 单调增区间为(-,1, 减区间为1,+),例2 y=log2 的值域为_,增区间为_,减区间为_。 解:-(x2-6x+5)0 x2-6x+50 1x5 y=log2 log22=1 值域为y1 增区间为(1,3 减区间为3,5),例3 函数y=log (x2-ax-a)在区间(-,1- )上是增函数则a的范围是_。 (f(x)=log (3x2-ax+5)在-1,+)上是减函数则a范围为_)。 解:x2-ax-a=(x- )2- -a y=log (x2-ax-a)在(-,1- )上 是增函数 1- (1- )2-a(1- )-a0 2-2 a2,x,y,O,例5 函数y=log 2x+log x单调减区间为_。 解:令t=log x y=t2+t=(t+ )2- log x- 0 x 函数y=log 2x+log x 单调减区间为(0, ,例6 设0a1,x,y满足 logax+3logxa-logxy=3 若y有最大值为 ,求此时a值及x的值。 解:logxy=logax+ -3 logay=log2ax-3logax+3 a = a= log x= x=( ) =,例7 函数y=logax(0a1) x1的图象上有A、B、C三点,它们的横坐标分别为t,t+2,t+4。 (1)若ABC面积为S,求S=f(t)。 (2)判断S=f(t)的单调性。 (3)求S=f(t)的最大值。,解:A(t,logat) B(t+2,loga(t+2) C(t+4,loga(t+4) S=SAABB+SBBCC-SAACC =(|logat|+|loga(t+2)|)+(|loga(t+2)|+|loga(t+4)|) -2(|logat|+|loga(t+4)|) t1 S=loga S=loga(1- )在1+)上为减函数 (3)当t=1时 S大=loga,例10 已知x1是方程x+lgx=4的解,x2是方程x+10 x=4的解,则x1+x2=_。 (A)5 (B)4 (C)3 (D)1 法1:x1+lgx1=4又x2+10 x2=4 3x14 0 x21 3x1+x25 选B,例11 已知关于的方程sin2+acos-2a=0有实数解,求实数a的范围。 解:原方程可化为: cos2-acos+2a-1=0 令cos =t -1t1 t2-at+2a-1=0,法2 a= =4-( +2-cos)4-2 0a4-2 法3 原方程可化为: cos2-1=a(cos-2) t2-1=a(t-2) 0a4-2,例12 某厂1、2、3月的产量分别为1,1.2,1.3(万件)日产量是月份的函数,模拟函数可以为二次函数,也可以为函数g(x)=abx+c。已知4月份产量为1.37(万件)问用哪一个函数模拟好? 解:设f(x)=px2+qx+r 由题设知: p+q+r=1 4p+2q+r=1.2 9p+3q+r=1.3,=-0.05 q=0.35 r=0.7 f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7 f(4)=-0.0542+0.354+0.7=1.3 又 ab+c=1 ab2+c=1.2 ab3+c=1.3 a=-0.8 b=0.5 c=1.4 g(x)=-0.80.5x+1.4 g(4)=-0.80.54+1.4=1.35 用g(x)好。,例13 设a0,a1为常数,函数 f(x)=loga (1)讨论f(x)在区间(-,-5)内的单调性,并给予证明。 (2)设g(x)=1+loga(x-3)如果方程f(x)=g(x)有实根,求a的范围。 解:设U(x)= x1x2-5 则U(x1)-U(x2)= =,x11时 f(x)=loga 在(-,-5)上是增函数。 当0a1时 f(x)=loga 在(-,-5)上是减函数。,(2)loga =1+loga(x-3)有大于5的实根 a(x-3)= a(x-5+2= 令x-5=t (t0) a(t+2)= = =t+ +1212+4 a = 0a 。,单元测试 一、单选题 1)若指数函数y=f(x)反函数的图像过点(2,-1),则此指数函数是(A) (A) y=( )x (B) y=2x (C) y=3x (D)y=10 x 2)若f(x)= ,则f( )=- 的解为(B) (A)2 (B)-2 (C)2 (D)1 3)若函数y=f(x)的定义域是-2,2,则函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域是(B) (A) -4,2 (B) -2,2 (C) -2,4 (D) -4,-2,4)设集合A和B都是坐标平面上的点集|(x,y)|xR,yR|,映射f:AB把A中的元素(x,y)映射成B中的元素(x+y,x-y),则在映射下,象(2,1)的原象是(B) (A) (3,1) (B) ( , ) (C) ( ,- ) (D) (1,3) 5)函数y=f(x)的定义域和值域都是(-,0),那么函数y=f(-x)的图像一定位于(D) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限,6)如果0a1,0 x2x1,则下列各式中正确的是(B) (A)1ax2ax1 (B)ax1ax21 (C)ax2ax11 (D)ax11ax2 7)若函数f(x-1)是偶函数,则函数f(x) (B) (A) 以x=1为对称轴 (B) 以x=-1为对称轴 (C) 以y轴为对称轴 (D) 不具有对称性 8)已知f(x)=asinx+b +4(a,bR),且f(lg log310)=5,则f(lg lg3)的值是(D) (A)-5 (B)5 (C)-3 (D)3,9)已知函数f(x),(xR)满足: (1)f(1+x)=f(1-x);(2)在1,+)上为增函数;(3)x10,且x1+x2f(-x2) (B) f(-x1)=f(-x2) (C) f(-x1)f(-x2) (D)无法确定 10)若f(x)为奇函数,且在(-,0)内是增函数,又f(-2)=0,则xf(x)0的解集为(A) (A) (-2,0)(0,2) (B) (-,-2)(2,+) (C) (-,-2)(2,+) (D) (-2,0)(2,+),11)若f(x),g(x)均为奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+1在(0,+)上有最大值4,则F(x)在(-,0)上有最小值(B) (A)-4(B)-2(C)-1(D)3 12)定义在R上的函数y=f(x)有反函数,则函数y=f(x+a)+b的图像与y=f-1(x+a)+b的图像间的关系是(A) (A) 关于直线y=x+a+b对称 (B) 关于直线x=y+a+b对称 (C) 关于直线y=x+a-b对称 (D) 关于直线x=y+a-b对称,三、解答题 17)设f(x)是R上的偶函数,且在区间(-,0)上递增,若有f(2a2+a+1)0 3a2-2a+10 2a2+a+13a2-2a+1 a2-3a0 0a3,18)已知常数a1,变数x,y之间有关系式:logax+3logxa-logxy=3。 (1)若x=at(t0),试求以a,t表示y的表达式; (2)若t的变化范围为1,+)此时y的最小值为8,求a和x值。 解:(1)logax+3logxa-logxy=3 =logax+ -3 logay=loga2x-3logax+3 y=a =a (2)当t= 时 y小=a =8 a=8 =16 此时x=16 =64,19)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中a,b,c满足abc,a+b+c=0 (1)求证:两函数的图像交于不同的两点A,B; (2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围。 解: (1) y=ax2+bx+c ax2+bx+c=-3x y=-bx ax2+2bx+c=0 =4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac =4(a+ )2+ c2 abc a+b+c=0 a0 c0 两函数图象交于两个不同点。,(2)设方程两个根分别为x1,x2 则 x1+x2=- x1x2= |A1B1|2=(x1+x2)2-4x1x2 =(- )2- = = =4 abc a+b+c=0 a0 c-a-cc (-2,- ) |A1B1|2(3,12) |A1B1|2,21)已知函数f(x)=3x且f-1(18)=a+2,g(x)=3ax-4x的定义域为区间0,1。 (1)求g(x)的解析式; (2)求g(x)的单调区间,确定其增减性并试用定义证明; (3)求g(x)的值域。 解:(1)f(x)=3x且f-1(18)=a+2 f(a+2)=3a+2=18 3a=2 g(x)=2x-4x,(2)令t=2 g(t)=t-t2=-(t- )2+ t1,2 g(t)在1,2上单调递减 g(x)在1,2上单调递减 证:设0 x10 1-2x1-2x20 g(x2)q(x1) q(x)在0,1上是减函数 (3)g(1)q(x)g(0) -2g(x)0 g(x)值成为-2,0,22)设函数f(x)=log2(x2-2mx+2m2 )的定义域为全体实数。 (1)求实数m的所有允许取值所组成的集合M; (2)求证:对所有mM所确定的所有函数f(x)的函数值中,最小的一个是2,并求出使函数值等于2的m和x的值。 解:(1)x2-2mx+2m2+ 0 恒成立 =4m2-4(2m2+ )0 m 或m-,(2)令U(x)=x2-2mx+2m2+ =(x-m)2+m2= 当x=m时 U(x)小=m2+ m2-20 U(x)小=m2-2+ +24 由m2-2= (m2-2)2=1 m= 此时f(x)小=2 x= 或-,谢谢,
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