第 13 讲导数的综合应用利用导数研究函数的零点和方程根的问题学生用书 P54典例引领(2016高考北京卷节选)设函数 f(x)x3ax2bxc.(1)求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)设 ab4，若函数 f(x)有三个不同零点，求 c 的取值范围【解】(1)由 f(x)x3ax2bxc，得 f(x)3x22axb.因为 f(0)c，f(0)b，所以曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 ybxc.(2)当 ab4 时，f(x)x34x24xc，所以 f(x)3x28x4.令 f(x)0，得 3x28x40，解得 x2 或 x23.f(x)与 f(x)在区间(，)上的情况如下：x(，2)2(2，23)23(23，)f(x)00f(x)cc3227所以，当 c0 且 c32270 时，存在 x1(4，2)，x2(2，23)，x3(23，0)，使得 f(x1)f(x2)f(x3)0.由 f(x)的单调性知， 当且仅当 c(0，3227)时， 函数 f(x)x34x24xc 有三个不同零点利用导数研究方程根的方法(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等(2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置(3)通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现设函数 f(x)x22kln x，k0.(1)求 f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间(1， e上仅有一个零点解 (1)由 f(x)x22kln x(k0)，得 x0 且 f(x)xkxx2kx.由 f(x)0，解得 x k(负值舍去)f(x)与 f(x)在区间(0，)上的变化情况如下：x(0， k)k( k，)f(x)0f(x)k（1ln k）2所以，f(x)的单调递减区间是(0， k)，单调递增区间是( k，)f(x)在 x k处取得极小值 f( k)k（1ln k）2，f(x)无极大值(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为 f( k)k（1ln k）2.因为 f(x)存在零点，所以k（1ln k）20，从而 ke.当 ke 时，f(x)在区间(1， e)上单调递减，且 f( e)0，所以 x e是 f(x)在区间(1， e上的唯一零点当 ke 时，f(x)在区间(1， e)上单调递减，且 f(1)120，f( e)ek20，所以 f(x)在区间(1， e上仅有一个零点综上可知，若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间(1， e上仅有一个零点利用导数研究不等式问题(高频考点)学生用书 P54导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容， 且常以解答题的形式考查， 难度较大高考对利用导数研究不等式问题的考查有以下两个命题角度：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题典例引领(2016高考全国卷丙)设函数 f(x)ln xx1.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)证明当 x(1，)时，1x1ln xx；(3)设 c1，证明当 x(0，1)时，1(c1)xcx.【解】(1)由题设，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1x1，令 f(x)0 解得 x1.当 0 x1 时，f(x)0，f(x)单调递增；当 x1 时，f(x)0，f(x)单调递减(2)证明：由(1)知 f(x)在 x1 处取得最大值，最大值为 f(1)0.所以当 x1 时，ln xx1.故当 x(1，)时，ln xx1，ln1x1x1，即1x1ln xx.(3)证明：由题设 c1，设 g(x)1(c1)xcx，则 g(x)c1cxln c，令 g(x)0，解得 x0lnc1ln cln c.当 xx0时，g(x)0，g(x)单调递增；当 xx0时，g(x)0，g(x)单调递减由(2)知 1c1ln cc，故 0 x01.又 g(0)g(1)0，故当 0 x1 时，g(x)0.所以当 x(0，1)时，1(c1)xcx.(1)利用导数证明不等式的方法证明 f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数 F(x)f(x)g(x)，如果 F(x)0，则 F(x)在(a，b)上是减函数，同时若 F(a)0，由减函数的定义可知，当 x(a，b)时，有 F(x)0，即证明 f(x)g(x)(2)利用导数解决不等式的恒成立问题的策略首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题题点通关角度一证明不等式1已知函数 f(x)mexln x1.(1)当 m1 时，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当 m1 时，证明：f(x)1.解 (1)当 m1 时，f(x)exln x1，所以 f(x)ex1x.所以 f(1)e1，f(1)e1.所以曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y(e1)(e1)(x1)，即 y(e1)x.(2)证明：当 m1 时，f(x)mexln x1exln x1.要证明 f(x)1，只需证明 exln x20.设 g(x)exln x2，则 g(x)ex1x.设 h(x)ex1x，则 h(x)ex1x20，所以函数 h(x)g(x)ex1x在(0，)上单调递增因为 g12 e1220，g(1)e10，所以函数 g(x)ex1x在(0，)上有唯一零点 x0，且 x012，1.因为 g(x0)0，所以 ex01x0，即 ln x0 x0.当 x(0，x0)时，g(x)0；当 x(x0，)时，g(x)0.所以当 xx0时，g(x)取得最小值 g(x0)故 g(x)g(x0)ex0ln x021x0 x020.综上可知，当 m1 时，f(x)1.角度二不等式恒成立问题2exkx 在 R 上恒成立，则实数 k 的取值范围为()Ak1Bk1Ck1Dk1A解析 由 exkx，得 kexx.令 f(x)exx，所以 f(x)ex1.f(x)0 时，x0，f(x)0 时，x0，f(x)0 时，x0.所以 f(x)在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数所以 f(x)minf(0)1.所以 k 的取值范围为 k1，故选 A.3(2017长沙模拟)已知 f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)对一切 x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)证明：对一切 x(0，)，ln x1ex2ex恒成立解 (1)由题意知 2xln xx2ax3 对一切 x(0，)恒成立，则 a2ln xx3x，设 h(x)2ln xx3x(x0)，则 h(x)（x3） （x1）x2.当 x(0，1)时，h(x)0，h(x)单调递减当 x(1，)时，h(x)0，h(x)单调递增，所以 h(x)minh(1)4，对一切 x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以 ah(x)min4，即实数 a 的取值范围是(，4(2)证明：问题等价于证明 xln xxex2e(x(0，)又 f(x)xln x，f(x)ln x1，当 x0，1e 时，f(x)0，f(x)单调递减；当 x1e，时，f(x)0，f(x)单调递增，所以 f(x)minf1e 1e.设 m(x)xex2e(x(0，)，则 m(x)1xex，易知 m(x)maxm(1)1e，从而对一切 x(0，)，ln x1ex2ex恒成立利用导数研究生活中的优化问题学生用书 P55典例引领某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为 r米，高为 h 米，体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000元(为圆周率)(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大【解】(1)因为蓄水池侧面的总成本为 1002rh200rh(元)，底面的总成本为 160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意 200rh160r212 000，所以 h15r(3004r2)，从而V(r)r2h5(300r4r3)因为 r0，又由 h0 可得 r0，故 V(r)在(0，5)上为增函数；当 r(5，5 3)时，V(r)0，故 V(r)在(5，5 3)上为减函数由此可知，V(r)在 r5 处取得最大值，此时 h8.即当 r5，h8 时，该蓄水池的体积最大(2017临沂模拟)某商场销售某种商品的经验表明， 该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 yax310(x6)2，其中 3x6，a为常数已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解 (1)因为 x5 时，y11，所以a21011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y2x310(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)2x310（x6）2210(x3)(x6)2，3x0.(1)当 a2，b1 时，求函数 f(x)的极值；(2)设 g(x)a(x1)exf(x)，若存在 x1，使得 g(x)g(x)0 成立，求ba的取值范围思维导图(1)(2)(1)当 a2，b1 时，f(x)21x ex，定义域为(，0)(0，)，f(x)（x1） （2x1）x2ex.(2 分)令 f(x)0，得 x11，x212，(3 分)当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表x(，1)1(1，0)0，121212，f(x)00f(x)极大值极小值由表知 f(x)的极大值是 f(1)1e，f(x)的极小值是 f12 4 e.(6 分)(2)因为 g(x)axbx2aex，所以 g(x)bx2axbxaex.(7 分)由 g(x)g(x)0 得axbx2aexbx2axbxaex0，整理得 2ax33ax22bxb0.(8 分)存在 x1，使得 g(x)g(x)0 成立等价于存在 x1，使得 2ax33ax22bxb0 成立因为 a0，所以ba2x33x22x1.(10 分)设 u(x)2x33x22x1(x1)，则u(x)8xx342316（2x1）2.(11 分)因为 x1 时，u(x)0 恒成立，所以 u(x)在(1，)上是增函数，即ba的取值范围为(1，)(12 分)(1)本题构造函数 u(x)是求ba范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的值域问题(2)学会利用导数法求给定区间上的函数的最值问题的步骤第一步：(求导数)求函数 f(x)的导数 f(x)；第二步：(求极值)求 f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求 f(x)在给定区间上的端点值；第四步： (求最值)将 f(x)的各极值与 f(x)的端点值进行比较， 确定 f(x)的最大值与最小值学生用书 P273(独立成册)1(2017广州市高考模拟)已知 yf(x)为 R 上的连续可导函数，且 xf(x)f(x)0，则函数 g(x)xf(x)1(x0)的零点个数为()A0B1C0 或 1D无数个A解析 因为 g(x)xf(x)1(x0)，g(x)xf(x)f(x)0，所以 g(x)在(0，)上单调递增，因为 g(0)1，yf(x)为 R 上的连续可导函数，所以 g(x)为(0，)上的连续可导函数，g(x)g(0)1，所以 g(x)在(0，)上无零点2(2017郑州市第一次质量预测)已知函数 f(x)x4x，g(x)2xa，若x112，1，x22，3，使得 f(x1)g(x2)，则实数 a 的取值范围是()Aa1Ba1Ca2Da2A解析 由题意知 f(x)minx12，1g(x)min(x2，3)，因为 f(