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第三十九课时平面向量的分解与坐标运算课前预习案考纲要求1了解平面向量的基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件基础知识梳理1平面向量基本定理如果12,e e是同一平面内的两个_向量,那么对于这一平面内的任意向量a,_一对实数12,使a _,其中,_叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为12,e e 2平面向量的坐标表示(1) 在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量, ij作为基底, 对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y 使axiyj,把有序数对 _叫做向量a的坐标, 记作a_,其中 _叫做a在 x 轴上的坐标,_叫做a在 y 轴上的坐标,显然0(0,0) ,i(1,0),j(0,1) (2) 设OAxiyj,则 _就是终点A 的坐标,即若 OA(x ,y) ,则 A 点坐标为 (x ,y) ,反之亦成立( 点 0是坐标原点 ) 3平面向量的坐标运算(1) 加法、减法、数乘运算向量abababa坐标11(,)x y22(,)xy1212(,)xxyy1212(,)xxyy11(,)xy(2) 向量坐标的求法已知 A11(,)x y,B22(,)xy,则 AB_,即一个向量的坐标等于_(3) 平面向量共线的坐标表示设a11(,)x y,b22(,)xy,其中b0,则a与b共线a_. 预习自测1 (2018 辽宁)已知点1,3 ,4, 1 ,ABAB则与向量同方向的单位向量为()A3455,-B4355,-C3 45 5,D4 35 5,2 (2018 大纲)已知向量1,1 ,2,2mn, 若mnmn,则=( )A4 B 3C2D-13 (2018 辽宁卷)已知点30,0 ,0,.OAbB a a若OAB为直角三角形,则必有()A3ba B31baa C 3310babaa D3310babaa4 (2018 上海春季 ) )已知向量(1)ak,,(96)bk,. 若/ab, 则实数k _. 课内探究案典型例题考点 1 平面向量基本定理的应用【典例 1】已知梯形ABCD ,如图所示, 2DCAB,M ,N分别为 AD ,BC的中点设 AD1,e,AB2e,试用12,e e表示DC, BC,MN. 【 变 式1】如 图 , 两块斜边 长 相 等的 直 角三 角板 拼 在 一 起, 若ADxAByAC, 则x,y . 【变式 2】 (2018 江苏)如图,在矩形ABCD 中,22ABBC,点E为 BC 的中点,点F在边 CD 上,若2AFAB,则BFAE的值是45考点 2 平面向量的坐标运算【典例 2】已知 A(2,4) ,B(3, 1) ,C( 3, 4) 设 ABa,BCb,CAc . (1) 求 3 ab3c;(2) 求满足a mbnc的实数 m ,n. 考点 3 平面向量共线的坐标表示【典例 3】 已知向量a(1,2),b(1,0),c(3,4) 若 为实数, (ab) c,则 ( ) A.14B.12C1 D2 【变式 3】已知a(1,0),b(2,1),(1) 当 k 为何值时, kab与a2b共线;(2) 若AB2a3b,BCamb且 A,B,C三点共线,求m的值考点 4 平面向量垂直【典例4】( 2018安徽 ) 设向量a(1,2m) ,b (m 1,1) ,c (2 , m)若 (ac) b,则 |a| _. 【变式 4】设点 M是线段 BC的中点,点A在直线 BC外,2BC16, |ABAC| |ABAC| ,则 |AM| ( ) A 8 B4 C2 D1 当堂检测112,e e是平面内一组基底,那么( ) A若实数1,2使 11e22e0,则 120 B空间内任一向量a可以表示为a11e22e( 1,2为实数 ) C对实数1,2,11e22e不一定在该平面内D对平面内任一向量a,使a11e 22e的实数 1,2有无数对 . 2在 ABC中,点 P在 BC上,且 BP2PC,点 Q是 AC的中点,若 PA (4,3) ,PQ(1,5),则 BC等于 ( ) A( 6,21) B( 2,7) C(6, 21) D(2 , 7) 3.( 2018 山东卷) 在平面直角坐标系xOy中, 已知( 1, )OAt,(2, 2)OB, 若90oABO, 则实数t的值为_. 课后拓展案 A 组全员必做题1已知直角坐标平面内的两个向量a(1,3) ,b (m,2m 3) ,使得平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成cab,则 m的取值范围是_2. 已知向量a(1,0) ,b(0,1),ck ab,da2 b. 如果cd,则 k_.&XB 3( 2018 重庆)在OA为边 ,OB为对角线的矩形中,( 3,1)OA,( 2, )OBk, 则实数k. B组提高选做题1 (2018 浙江)设e1.e2为单位向量 , 非零向量b=12xeye,x.y R. 若12,e e的夹角为6, 则xb的最大值等于_. 2. 平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1 ,2),c=(4, 1)。则:求满足a= mb+ nc的实数 m ,n 的值;若(a+kc)( 2b-a) ,求实数 k;设d=(x,y)满足(d-c)(b+a)且 |d-c|=1 ,求d. 参考答案预习自测1.A 2.B 3.C 4.34典型例题【典例 1】212DCe;1212BCee;234MNe. 【变式 1】312;32. 【变式 2】2【典例 2】 (1)(6,42); (2)1mn. 【典例 3】B 【变式 3】 (1)12k; (2)32m. 【典例 4】2【变式 4】C 当堂检测1.A 2.A 3.5 A 组全员必做题1.3m2.123.4 B组提高选做题1.2 2. 58,99mn;1613k;)5521 ,554(或)5521 ,554(.
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