1 / 6 高二数学高二数学期中考试期中考试试卷试卷（2021 年年 11 月月 3 日）日） 班级_学号_姓名_ 一、选择题 1长方体 ABCD-A1B1C1D1中，化简1AADADC+=（ ） （A）1DB （B）1DC （C）1DA （D）1D B 2. . 已知 a(6，0，2)，b(1，21，2)，若 ab，则实数 ， 的值分别为( ) (A)21,51 (B)21,51 (C)5，2 (D)5，2 3. 过点 A(2，5，1)且与向量 a(3，2，1)垂直的向量( ) (A)有且只有一个 (B) 有无数个且共面 (C) 只有两个且方向相反 (D) 有无数个且共线 4. 若直线 l 的方向向量为m，平面 的法向量为n，则能使 l 的是 （ ） (A) ()0,2,1=m，()1,0,1= n (B)()1,3,5=m，()1,0,1=n (C) ()1,2,0=m，()2, 4,0= n (D)()1, 1,3=m，()0,3,1=n 5. 若平面的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面的夹角为，则下列关系式中成立的是 （ ） (A) cos| |=n ana (B) cos| |=|n a |na (C) sin| |=n ana (D) sin| |=|n a |na 6. 已知空间直角坐标系 Oxyz 中的点 A(1, 2,3)关于 yOz 平面的对称点为 B，则|AB|为（ ） (A)2 (B) 4 (C) 6 (D)以上都不对 2 / 6 7.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） （A）514 （B）514+ （C）512+ （D）512 8已知a, b是两条不同直线，, 是两个不同平面，则下列命题正确的是 （ ） （A）若, 垂直于同一平面，则与平行 （B）若a, b平行于平面，则a与b平行 （C）若a, b不平行，则a与b不可能垂直于同一平面 （D）若, 不平行，则在内不存在与平行的直线 9. 如图已知正方体1111ABCDABC D，M，N 分别是1AD，1D B的中点，则（ ） （A）直线1AD与直线1D B相交，直线/ /MN平面ABCD （B）直线1AD与直线1D B平行，直线MN 平面11BDD B （C）直线1AD与直线1D B垂直，直线/ /MN平面ABCD （D）直线1AD与直线1D B异面，直线MN 平面11BDD B 3 / 6 10. 已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为 （ ） （A） 3 34 （B）2 33 （C）3 24 （D）32 二、填空题 11 长方体的一个顶点处的三个棱长分别为 1， 2， 3， 则这个长方体的外接球的表面积为_. 12. 若用半径为 2 的半圆纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥的体积为_. 13 平面 的法向量为 m， 若向量mAB， 则直线 AB 与平面 的位置关系为_. 14. 已知 a(2，1，2)，b(2，2，1)，则以 a，b 为邻边的平行四边形的面积为_ 15.正四棱锥的底面边长为 4，侧棱长为 3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为_ 16已知关于向量的命题， abab是 a，b 共线的充分不必要条件； 若 ab，则存在唯一的实数 ，使 ab； ab0，bc0，则 ac； 若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一基底； (ab)cabc 在以上命题中，所有正确命题的序号是_. 4 / 6 三、解答题 17正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AB4，AA18，E 为 CC1中点，O1为下底面正方形的中心，求 (1)异面直线 AB 与 EO1所成角的余弦值； (2)二面角 CABO1的余弦值； (3)点 O1到平面 ABE 的距离 5 / 6 18. 如图， 在三棱柱111ABCABC中，ABAC， 顶点1A在底面ABC上的射影恰为B点，且12ABACAB= 分别求出1AA与底面ABC、棱BC所成的角的大小； 在棱11BC上确定一点P，使14AP =，并求出二面角1PABA的平面角的余弦值 18.解： 因1A在底面ABC上的射影恰为B点，则1AB 底面ABC 所以_就是1AA与底面ABC所成的角 因112ABABABAB=， 即1AA与底面ABC所成的角是4 如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则 ()200C， ，()020B， ，()1_A， ()1042B， ，()1222C， ， ()11220BCBC=， 则11141cos288AA BCAABCAABC= ， 故1AA与棱BC所成的角的大小是_. 设()111220BPBC=， ，则()2422P， 于是()2214424142AP=+=（32=舍去） ， 则P为棱11BC的中点，其坐标为_P 设平面PAB的法向量为()1nxyz=， ， 则11032022000nAPxyzxzyynAB=+= =， 不妨取1z =，得1_.n = 而平面1ABA的法向量为()2100n =， ， ， 则12121222 5cos55nnnnnn= ， 由已知，二面角1PABA的平面角为锐角， 故二面角1PABA的平面角的余弦值是_ A1B1C1CBAPzyxABCC1B1A1 6 / 6 19.在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC平面 ABC， SASC2 3，M，N 分别为 AB，SB 的中点 (1)证明：ACSB； (2)求二面角 NCMB 的余弦值； (3)求点 B 到平面 CMN 的距离