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不等式中的恒成立问题 1.不等式的解集为R的条件(1)不等式ax2+bx+c0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:当a=0时,b=0,c0;当a0时,【名师指津】(2)不等式ax2+bx+c0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:当a=0时,b=0,c0;当a0时,2.有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法(1)f(x)a恒成立f(x)maxa;(2)f(x)a恒成立f(x)mina.【特别提醒】解题时对参数的讨论要做到不重不漏.【例1】当a为何值时,不等式(a2-1)x2-(a-1)x-10的解是全体实数?【审题指导】解答本题应先考虑a2-1=0的情形,然后当a2-10时按 求解.【规范解答】(1)当a2-1=0,即a=1时,若a=1,则原不等式为-10,恒成立.若a=-1,则原不等式为2x-10,即x 不符合题目要求,舍去.(2)当a2-10,即a1时,原不等式的解集为R的条件是解得 a1.综上所述,当 0”怎样求a的取值范围.【解析】(1)当a2-1=0,即a=1时,若a=1,则原不等式化为10,恒成立.若a=-1,则原不等式化为2x+10,即x 不符合题意,舍去.(2)当a2-10时,即a1时,原不等式解集为R的条件是解得a1.综上所述,当a1或a 的错误.原因是忽略了二次项系数为零的情况.【例】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c且f(-1)=0,是否存在常数a,b,c,使得不等式xf(x) (x2+1)对一切实数x都成立,并求出a,b,c的值.【审题指导】由已知条件列出a、b、c的关系式,用一个参数表示其他参数,然后利用不等式求解.【规范解答】已知f(-1)=a-b+c=0 若存在常数a,b,c使得xf(x) (x2+1),则1f(1)1,f(1)=a+b+c=1 由得b= a+c= 则f(x)=ax2+ x+ -a,xf(x) (x2+1)对一切实数x都成立, 恒成立.即对于不等式ax2- x+ -a0恒成立,则对于不等式(a- )x2+ x-a0恒成立,则a= 时,xf(x) (x2+1)对一切实数x都成立.存在常数 使得不等式xf(x) (x2+1)对一切实数x都成立.【变式备选】设不等式mx2-2x-m+10对于满足-2m2的一切m的值都成立,求x的取值范围.【解析】以m为自变量构造函数f(m)=(x2-1)m-(2x-1),问题转化为f(m)在-2,2内恒为负值.故有故x的取值范围为( ). 一元二次不等式的实际应用【名师指津】解不等式应用题,一般可按如下四步进行:(1)阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系;(2)引入数学符号,用不等式表示不等关系(或表示成函数关系);(3)解不等式(或求函数最值);(4)回扣实际问题.【特别提醒】解答应用题一定要注意问题的实际意义和单位统一. 【例2】政府收购某种农产品的原价是100元/担,其中征税标准为每100元征10元(叫做税率为10个百分点,即10%),计划收购a万担,为了减轻农民负担,现决定将税率降低x个百分点,预计收购量可增加2x个百分点,要使此项税收在税率调节后不低于原计划的83.2%,试确定x的取值范围.【审题指导】税收=征税总额税率,建立税收随税率降低的百分点x变化的函数关系,然后用不等式表示不等关系即可.【规范解答】税率降低x个百分点,预计收购量可增加为a( )万担,税率变为 由题意得100a( ) 100a10%83.2%,即x2+40 x-840,解得-42x2,0300,即x2-8x+100,解得 故每件定价在(14- )元到(14+ )元之间即定价取12元、13元、14元、15元、16元时,能确保每天的利润在300元以上.【误区警示】解答本题容易出现未考虑“0 x10”的情况,这有时会得出错误的结论.因此解答这类问题,必须考虑到未知数x要有实际意义. 与参数有关的分式不等式【名师指津】将分式不等式转化为整式不等式应注意的问题(1)在将分式不等式化为整式不等式的过程中应注意分母的符号,不能冒然将其乘到另一边,正确的方法是移项通分.(2)化为含参数的一元二次不等式后,先讨论二次项系数的符号,再讨论根的大小,解题过程有条不紊,顺理成章.【例】解不等式 1(a1)【审题指导】先将其转化为整式不等式,再利用解一元二次不等式的知识解答,注意分类讨论.【规范解答】原不等式可化为 -10,即(a-1)(x- )(x-2)0.(1)当a1时,即为 (x-2)0,而 = 0. 2,此时x2或x (2)当a1时,即为(x- ) (x-2)0,而()若0a1,则 2,此时2x ()若a=0,则(x-2)20,此时无解;()若a0,则 2,此时 x2.综上所述:当a1时,不等式的解集为x|x 或x2;当0a1时,不等式的解集为x|2x ;当a0时,不等式的解集为 ;当a0时,不等式的解集为x| x2.【变式备选】关于x的不等式ax+b0的解集是x|x2,求关于x的不等式 的解集.【解析】因为不等式ax+b0的解集为x|x2,所以a0且方程ax+b=0的根为2,即b-2a,故不等式 可转化为又a0,所以它等价于 或 ,解不等式组,得x3,解不等式组,得-1x2,所以原不等式的解集为x|x3或-1x2. 【典例】(12分)已知函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图象都在x轴上方,求实数k的取值范围.【审题指导】函数图象在x轴上方,由图象的不同情况去分析.【规范解答】(1)当k2+4k-5=0时,k=-5或1.若k=-5,则y=24x+3的图象不可能都在x轴上方,故k-5.3分若k=1,则y=3的图象都在x轴上方. 5分(2)若k2+4k-50则所给函数为二次函数,应有 8分解得1k19. 10分由(1)、(2)得1k19. 12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下:【即时训练】已知函数f(x)=(m-2)x2-4mx+2m-6的图象与x轴的负半轴有交点,求实数m的范围.【解析】(1)当m=2时,f(x)=-8x-2与x轴交于( 0),符合题意;(2)当m2时,f(x)=0有一正根、一负根等价于(m-2)(2m-6)0,解得2m3;f(x)=0有两负根,等价于 解得1m0的解集为R,则实数m的取值范围是( )(A)m2 (B)m2(C)m2 (D)0m0恒成立等价于0,即m2-4 0,0m2,故选D.2.若函数 的定义域为R,则k的取值范围是( )(A)1,+) (B)(1,+)(C)0(1,+) (D)0,1【解析】选D.当k=0时,成立.当k0时,若定义域为R,即kx2-6kx+(k+8)0的解集为R,则 0k1.综上k0,1.3.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-40恒成立,则实数a的取值范围是( )(A)(-,2) (B)(-,2(C)(-2,2) (D)(-2,2【解析】选D.当a-20时 -2a2.当a-2=0时,-40恒成立.综上所述,-2a2.故选D.4.如果关于x的不等式2kx2+kx- 0对一切实数x都成立,则k的取值范围是_.【解析】当k=0时, 0对一切实数x都成立.当k0时,等价于-3k0,综上所述,-30,所以0 x100.答:当花坛宽度在(0,100米的范围内取值时,草坪的面积不小于空地面积的二分之一.
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