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学问要点知能点 1 :1、探究三角形全等的条件优秀学习资料欢迎下载专题四(第九讲):三角形的证明判定方法 1:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”; 判定方法 2:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”; 判定方法 3:角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”;判定方法 4:三边对应相等的两个三角形全等,简写“边边边”或“SSS”;2、探究直角三角形全等的条件( 1) 两直角边对应相等的两个直角三角形全等;( 2) 有一边一锐角对应相等的两个直角三角形全等;( 3)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形;3、角平分线性质定理角平分线上的点到角的两边的距离相等;4证题的思路:已知两边找夹角( 找直角(SAS)HL )找第三边(SSS)如边为角的对边,就找任意角(AAS)已知一边一角边为角的邻边找已知角的另一边( 找已知边的对角(SAS) AAS)找夹已知边的另一角(ASA)已知两角找两角的夹边(ASA)找任意一边(AAS)优秀学习资料欢迎下载一、当已知两个三角形中有两边对应相等时,找夹角相等( SAS)或第三边相等( SSS);例 1. 如图 1,已知: AC BC, CD CE, ACB DCE 60,且 B、C、D 在同一条直线上;求证: AD BEAEBCD图 1DCOAB图 3四、已知两直角三角形中,当有一边对应相等时,可找另一边对应相等或一锐角对应相等例 4. 如图 4,已知 AB AC, AD AG ,AE BG 交 BG 的延长线于 E,AF CD 交 CD 的延长线于F;求证: AE AFA二、当已知两个三角形中有两角对应相等时,找夹边FE对应相等( ASA )或找任一等角的对边对应相等( AAS )DG例 2. 如图 2,已知点 A 、B、C、D 在同始终线上,AC BD ,AM CN , BM DN ;求证: AM CNMNACBD图 2BC图 4五、当已知图形中无现存的全等三角形时,可通过添作帮助线构成证题所需的三角形例 5. 如图 5,已知 ABC 中, BAC 90, AB AC , BD 是中线, AE BD 于 F,交 BC 于 E;求证: ADB CDEA2DF1三、当已知两个三角形中, 有一边和一角对应相等时, 可找另一角对应相等( AAS , ASA )或找夹等角的另一边对应相等( SAS)例 3. 如图 3,已知: CAB DBA ,AC BD , AC 交 BD 于点 O;求证: CAB DBABECG图 5例 6、如图, 在 ABC 中, AB=AC,B D AC于 D, 求证 1= 1 BAC.2例 7、 如下列图, ABC 中, AD 平分 BAC 交 BC 于点 D,E F AD交 BC的延长线于 F, 且 E是 AD的中点, 求证 B= CAF.例 8、 在直角 ABC 中, AB=AC, BAC=90 , 1=2,C EBD的延长线于 E. 求证 BD=2CE.练习:1、 在 ABC 中, ABC=60 ,AD,CE 分别为 BAC, ACB 的平分线,求证 AC=AE+CD.2、在 ABC 中, ABC=60 ,AD,CE 分别为 BAC, ACB 的平分线,求证 AC=AE+CD.3 、如图,在 ABC 中, AC=BC, BCA=90 ,D 是AB 上的任意一点, AE CD 于 E,BF CD 于 F,求证EF=BF-AE.4、如图, AD 是 BAC 的平分线, DEAB,DF AC, 垂足分别为 E,F,且 DB=DC, 求证 BE=CF.5、如图, ABC 是边长为 3 的等边三角形,BDC 是等腰三角形,且 BDC=120 ,以 D 为顶点作一个60角,使其两边分别交AB 于点 M, 交 AC 于点 N, 连接 MN, 求 AMN的周长;明 BCE是直角三角形;8、如图 4, AD 是一段斜坡, AB 是水平线,现为了测斜坡上一点 D 的竖直高度 DB 的长度,欢欢在 D 处立上一竹竿CD ,并保证 CD AD ,然后在竿顶 C 处垂下一根绳CE,与斜坡的交点为点 E,他调整好绳子CE 的长度,使得CE=AD ,此时他测得DE=2 米,于是他认定 DB 的高度也为 2 米,你觉得对吗 .请说明理C由;ED6、如图,已知 ABC中, ABC=45 ,CD AB于 D,BE 平分 ABC, 且 BE AC 于 E,与 CD 交于 F,HAB是 BC 边上的中点,连接DH 与 BE 相交于点 G,1图 4求证 BF=AC,2CE=1BF,( 3) CE 与 BG 的29 、如图 1,已知, AC CE,大小关系如何,试证明你的结论;AC=CE , ABC= CDE=90 ,问 BD=AB+ED吗.AEBCD图 5D7、图 1,已知 DO BC,OC=O,AECAOB=OD,请说O图 1AD10、( 2021泸州) 如图, E 是正方形EBFBCABCD 的边 DC 上的一点,过点 A 作 FA AE 交 CB的延长线于点 F,求证: DE=BF( 3)当直线 MN 绕点 C 旋转到下图的位置时,试问DE , AD , BE 具有怎样的等量关系?请写出这个等M量关系;CEABD图N11、如图 8,在 ABC 中, BAC=90 , AB=AC ,AE 是过点 A 的直线, BD AE , CE AE ,13、( 2021怀化)如图, 四边形 ABCD 、DEFG 都是正方形,连接AE 、CG,AE 与 CG 相交于点 M ,ADBEC图CG 与 AD 相交于点 N 求证: AEGABDCG ;FE( 1)直线 MN 经过点 C,且 AD MN 于 D ,BEMN14、 如图, ABC 中,C C=90,于 E; 当直线MN绕点 C 旋转到下图的位置时, ADC CEB,且 DE=AD+BE ;你能说出其中的道理吗?AB=2AC ,M 是 AB 的中点,点 N 在 BC 上,MN AB. 求证: AN 平分 BAC.AMBNC( 2)当直线 MN 绕点 C 旋转到如下图的位置时,DE =AD-BE ;说说你的理由;16、如图,在 ABC 中, ABC=60 , AD 、CE 分别平分 BAC 、 ACB ,求证: AC=AE+CD MDCENAB图AB+ACBD+DE+CE17、如图,在 ABC 中,AD 平分 BAC ,AB+BD=AC, 求 B: C 的值;ABDC18、已知,如图 3,在 ABC 中, C2 B, 12;求证: AB=AC+C;D19、已知,如图D、E 为 ABC内两点,求证 :
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