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,高考数学总复习 第6章 数列(317页),第六章数列,6.1数列的概念与简单表示法6.2 等差数列6.3等比数列高考专题突破三 高考中的数列问题,第六章数列,6.1数列的概念与简单表示法,考试要求,1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.,内容索引,主干梳理基础落实,题型突破核心探究,课时精练,ZHUGANSHULI JICHULUOSHI,主干梳理 基础落实,1,1.数列的有关概念(1)数列的定义:一般地,把按照 排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列的通项公式如果数列an的第n项 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做数列的通项公式.若已知数列an的前n项和为Sn,则an,确定的顺序,an,(n1), (n2).,S1,SnSn1,(3)数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以 来表示,那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.2.数列与函数数列an是从正整数集N*(或它的有限子集1,2,n)到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为anf(n).也就是说,当自变量从1开始,按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列函数值f(1),f(2),f(n),就是数列an.,用一个式子,3.数列的分类,有限,无限,4.数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是 、图象法和 .,列表法,解析法,1.数列的项与项数是一个概念吗?,微思考,提示不是.数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号.,2.数列作为一种特殊函数,特殊性体现在什么地方?,提示体现在定义域上,数列的定义域是正整数集N*(或它的有限子集1,2,3,n).,题组一思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)数列的通项公式是唯一的.()(2)所有数列的第n项都能使用公式表达.()(3)2,2,2,2,不能构成一个数列.()(4)如果数列an的前n项和为Sn,则对任意nN*,都有an1Sn1Sn.(),题组二教材改编,1,所以数列an满足anan3,所以a2 022a31.,4.已知数列an的通项公式为ann2n1,若an是递增数列,则实数的取值范围是_.,(,3),解析由题意得an1an,即(n1)2(n1)1n2n1.化简得,2n1,nN*,3.,题组三易错自纠5.已知数列an的前n项和为Sn2n21,则an的通项公式为an_.,解析当n1时,a1S11.当n2时,anSnSn12n212(n1)214n2,a11不适合上式,,解析要使Sn最大,只需要数列中正数的项相加即可,即需an0,n29n100,得1n10,又nN*,所以1n10.又a100,所以n9或10.,6.若ann29n10,则当数列an的前n项和Sn最大时,n的值为_.,9或10,TIXINGTUPO HEXINTANJIU,2,题型突破 核心探究,题型一由an与Sn的关系求通项公式,自主演练,1.已知数列an的前n项和Snn22n,则an_.,2n1,解析当n1时,a1S13.当n2时,anSnSn1n22n(n1)22(n1)2n1.由于a13适合上式,an2n1.,2.已知数列an中,Sn是其前n项和,且Sn2an1,则数列的通项公式an_.,2n1,解析当n1时,a1S12a11,a11.当n2时,Sn2an1,Sn12an11.,SnSn12an2an1,即an2an2an1,即an2an1(n2),an是首项a11,q2的等比数列.ana1qn12n1.,3.设数列an满足a13a2(2n1)an2n,则an_.,解析当n1时,a1212.a13a2(2n1)an2n,a13a2(2n3)an12n1(n2),由得,(2n1)an2n2n12n1,,4.设Sn是数列an的前n项和,且a11,an1SnSn1,则下列结论正确的是_.,解析an1SnSn1Sn1Sn,,思维升华,(1)已知Sn求an的常用方法是利用an 转化为关于an的关系式,再求通项公式.(2)Sn与an关系问题的求解思路方向1:利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn,Sn1的关系式,再求解.方向2:利用SnSn1an(n2)转化为只含an,an1的关系式,再求解.,题型二由数列的递推关系式求通项公式,多维探究,命题点1累加法例1在数列an中,a12,an1anln ,则an等于A.2ln n B.2(n1)ln nC.2nln n D.1nln n,所以a2a1ln 2ln 1,a3a2ln 3ln 2,a4a3ln 4ln 3,anan1ln nln(n1)(n2),把以上各式分别相加得ana1ln nln 1,则an2ln n(n2),且a12也适合,因此an2ln n(nN*).,命题点2累乘法例2已知数列an的前n项和为Sn,其首项a11,且满足3Sn(n2)an,则an_.,解析3Sn(n2)an,3Sn1(n1)an1(n2),由得,3an(n2)an(n1)an1,,n2n1,n(anan1)(2anan1)2an(anan1)0,(anan1)(2anan1)n2an0,又an0,2nan2annan10,,又a11,,2n1n.,又n1时,a11适合上式,ann2n1.,(1)根据形如an1anf(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时,常用累加法求出ana1与n的关系式,进而得到an的通项公式.(2)根据形如an1anf(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时,常用累乘法求出 与n的关系式,进而得到an的通项公式.,思维升华,(2)已知a12,an12nan,则数列an的通项公式an_.,2n12n222222123(n1)2, ,又a12满足上式,an .,题型三数列的性质,多维探究,命题点1数列的单调性例3已知数列an的通项公式为an ,若数列an为递减数列,则实数k的取值范围为A.(3,) B.(2,)C.(1,) D.(0,),解决数列的单调性问题的三种方法(1)用作差比较法,根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列.(2)用作商比较法,根据 (an0或an0)与1的大小关系进行判断.(3)函数法.,思维升华,命题点2数列的周期性例4(2020广元联考)已知数列an,若an1anan2(nN*),则称数列an为“凸数列”.已知数列bn为“凸数列”,且b11,b22,则bn的前2 022项的和为A.0 B.1 C.5 D.1,解析bn2bn1bn,b11,b22,b3b2b1213,b4b3b21,b5b4b31(3)2,b6b5b42(1)3,b7b6b5321.bn是周期为6的周期数列,且S61231230.S2 022S33760.,解决数列周期性问题根据给出的关系式求出数列的若干项,通过观察归纳出数列的周期,进而求有关项的值或者前n项的和.,思维升华,命题点3数列的最值,解析由an1an2n,可得ann2n28,,求数列的最大项与最小项的常用方法(1)函数法,利用函数求最值.,思维升华,(2)已知数列an满足an2an1an,nN*,a11,a22,则a2 021等于A.2 B.1 C.1 D.2,解析由题意,数列an满足an2an1an,且a11,a22,当n1时,可得a3a2a1211;当n2时,可得a4a3a2121;当n3时,可得a5a4a3112;当n4时,可得a6a5a42(1)1;当n5时,可得a7a6a51(2)1;当n6时,可得a8a7a61(1)2;,可得数列an是以6为周期的周期数列,所以a2 021a33665a52.故选A.,(3)在数列an中,an(n1) ,则数列an的最大项是第_项.,6或7,得n6,即当n6时,an1an,当n6时,an1an,a6或a7最大.,KESHIJINGLIAN,3,课时精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,n14,故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.若数列an满足a11,an1an12n,则an等于A.2nn2 B.2n1n1C.2n1n4 D.2n12n2,解析an1an2n1,a2a1211,a3a2221,a4a3231,anan12n11(n2),以上各式相加得,ana1212n1(n1),an2nn2,选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.在一个数列中,如果nN*,都有anan1an2k(k为常数),那么这个数列叫做等积数列,k叫做这个数列的公积.已知数列an是等积数列,且a11,a22,公积为8,则a1a2a2 021等于A.4 711 B.4 712C.4 714 D.4 715,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由题意可知anan1an28,则对任意的nN*,an0,则a1a2a38,,由anan1an28,得an1an2an38,anan1an2an1an2an3,an3an,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2 02136732,因此a1a2a2 021673(a1a2a3)a1a26737124 714.故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.已知数列an的通项公式为ann211n ,a5是数列an的最小项,则实数a的取值范围是A.40,25 B.40,0C.25,25 D.25,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由已知条件得a5是数列an的最小项,,故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,对于B,令n2n508,得n7或n6(舍去),B正确;,对于C,将3,5,9,17,33,的各项减去1,得2,4,8,16,32,设该数列为bn,则其通项公式为bn2n(nN*),因此数列3,5,9,17,33,的一个通项公式为anbn12n1(nN*),C错误;,因此数列an是递增数列,D正确.故选ABD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析对于A,若an3n,则an1an3(n1)3n3,所以an1an不为递减数列,故A错误;对于B,若ann21,则an1an(n1)2n22n1,所以an1an为递增数列,故B错误;,所以an1an为递减数列,故C正确;,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以an1an为递减数列,故D正确.故选CD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.若数列an的前n项和Sn3n22n1,则数列an的通项公式an_.,解析当n1时,a1S13122112;当n2时,anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5,显然当n1时,不满足上式.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.(2020北京市昌平区模拟)设数列an的前n项和为Sn,且nN*,an1an,SnS6.请写出一个满足条件的数列an的通项公式an_.,n6(nN*)(答案不唯一),解析nN*,an1an,则数列an是递增的,nN*,SnS6,即S6最小,只要前6项均为负数,或前5项为负数,第6项为0,即可,所以,满足条件的数列an的一个通项公式ann6(nN*)(答案不唯一).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1
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