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第二讲 参数方程1、参数方程的概念(1)在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y都是某个变数t的函数,即并且对于t的每一个允许值,由上述方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程 ,联系x、y之间关系的变数叫做参变数,简称参数。参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数,也可以是没有明显意义的变数。(2) 相对于参数方程来说,前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程,叫做曲线的普通方程。并且对于 的每一个允许值,由方程组所确定的点P(x,y),都在圆O上. 5o思考1:圆心为原点,半径为r 的圆的参数方程? 我们把方程组叫做圆心在原点、半径为r的圆的参数方程, 是参数.观察1观察2(a,b)r又所以(3)参数方程与普通方程的互化x2+y2=r2注:1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系,而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。 2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可能体现时,通过参数建立间接的联系。已知曲线C的参数方程是(1)判断点(0,1),(5,4)是否在上.(2)已知点(,a)在曲线上,求a.例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0,将它化为参数方程。解: x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程, (x+1)2+(y-3)2=1,参数方程为(为参数)练习: 1.填空:已知圆O的参数方程是(0 2 )如果圆上点P所对应的参数 ,则点P的坐标是 A的圆,化为标准方程为(2,-2)1化为参数方程为把圆方程0142)2(22=+-+yxyxxMPAyO解:设M的坐标为(x,y),可设点P坐标为(4cos,4sin)点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。由中点公式得:点M的轨迹方程为x =6+2cosy =2sinx =4cosy =4sin 圆x2+y2=16的参数方程为例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?观察3解:设M的坐标为(x,y),点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。由中点坐标公式得: 点P的坐标为(2x-12,2y)(2x-12)2+(2y)2=16即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4点P在圆x2+y2=16上xMPAyO例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?例3、已知点P(x,y)是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点,求(1) x2+y2 的最值, (2)x+y的最值, (3)P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。 解:圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即(x- 3)2+(y- 2)2=1,用参数方程表示为由于点P在圆上,所以可设P(3+cos,2+sin)(1) x2+y2 = (3+cos)2+(2+sin)2 =14+4 sin +6cos=14+2 sin( +).(其中tan =3/2) x2+y2 的最大值为14+2 ,最小值为14- 2 。(2) x+y= 3+cos+ 2+sin=5+ sin( + ) x+y的最大值为5+ ,最小值为5 - 。 (3)显然当sin(+ )= 1时,d取最大值,最小值,分别为 , 。例4、将下列参数方程化为普通方程:(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2(1)(x-2)2+y2=9(2)y=1- 2x2(- 1x1)(3)x2- y=2(X2或x- 2)步骤:(1)消参; (2)求定义域。小 结:1、圆的参数方程2、参数方程与普通方程的概念3、圆的参数方程与普通方程的互化4、求轨迹方程的三种方法:相关点点问题(代入法); 参数法;定义法5、求最值xyACBO
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