1 河北省衡水中学2018 高三第一次模拟理科数学试题一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分）1设全集为实数集R，24Mx x，13Nxx，则图中阴影部分表示的集合是( ) A21xxB22xxC12xxD2x x2设,aR i是虚数单位，则“1a” 是“aiai为纯虚数 ” 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3若na是等差数列，首项10,a201120120aa，201120120aa，则使前n 项和0nS成立的最大正整数n 是（）A2011 B2012 C4022 D4023 4. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“ 连续7 天每天新增感染人数不超过5人” ，根据连续7 天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（）平均数3x；标准差2S；平均数3x且标准差2S；平均数3x且极差小于或等于2；众数等于1 且极差小于或等于1。A B C D5. 在长方体ABCD A1B1C1D1中， 对角线 B1D 与平面 A1BC1相交于点E， 则点 E 为 A1BC1的（）A垂心 B内心 C外心 D重心6.设yx,满足约束条件, 0, 02, 063yxyxyx若目标函数ybaxz)0,(ba的最大值是12，则22ab的最小值是（）A613B365C65D36137.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A 16B4C8D28已知函数2sin()fxx(0,)图像的一部分（如图所示） ，则与的值分别为（）A115,106B21,3C7,106D4,539. 双 曲 线C的 左 右 焦 点 分 别 为12,F F,且2F恰 为 抛 物 线24yx的焦点 ,设双曲线C与该抛物线的一个交点为A,若12AF F是以1AF为底边的等腰三角形,则双曲线C的离心率为（）A2B12C13D2310. 已知函数)(xf是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数12,x x，不等式)()()()(12212211xfxxfxxfxxfx恒成立，则不等式0)1 (xf的解集为 ( ) 1 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -2 A. )0,(B. ,0C. )1 ,(D. , 111.已知圆的方程422yx，若抛物线过点A(0， 1)，B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是() A.x23y241(y0) B.x24y231(y0)C.x23y241(x0) D.x24y23 1 (x0)12. 设( )f x是定义在 R 上的函数，若(0)2008f，且对任意xR，满足(2)( )3 2xf xf x，(6)( )63 2xf xf x，则)2008(f=（）A.200722006B200622008C200722008D200822006二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13.在区间 6，6，内任取一个元素xO ，若抛物线y=x2在 x=xo处的切线的倾角为，则3,44的概率为。14某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是15. 在ABC中，P是BC边中点，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若0cACaPAbPBuu u ru uu ruuu rr，则ABC的形状为。16.在x轴的正方向上，从左向右依次取点列, 2, 1, jAj，以及在第一象限内的抛物线xy232上从左向右依次取点列,2, 1,kBk，使kkkABA1（, 2, 1k）都是等边三角形，其中0A是坐标原点，则第2005 个等边三角形的边长是。三、解答题（本大题共6 小题，共70 分）17 （本小题满分12 分）在 ABC中 ，cba,是 角CBA,对 应 的 边 ， 向 量),(cbam,cban,， 且abnm)23(?. （1）求角C；（2） 函数）（021)2sin()cos()(cos)sin(2)(2xBAxBAxf的相邻两个极值的横坐标分别为20 x、0 x，求)(xf的单调递减区间. 18. （本小题满分12 分）已知四边形ABCD 满足1/ /,2ADBC BAADDCBCa，E 是 BC 的中点， 将 BAE沿 AE 翻折成11,B AEB AEAECD使面面，F 为1B D的中点 . （1）求四棱锥1BAECD的体积；（2）证明：1/ /B EACF面；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -3 （3）求面11ADBECB与面所成锐二面角的余弦值. 19. （本小题满分12 分）现有4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于2 的人去参加乙游戏. （1）求这 4 个人中恰有2 人去参加甲游戏的概率；（2）求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用 X，Y 分别表示这4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 |XY|，求随机变量 的分布列与数学期望E . 20. （本小题满分12 分）已知函数( )f x是定义在,00,ee上的奇函数 ,当0,xe时, ( )lnfxaxx(其中e是自然界对数的底,aR) （1）求( )f x的解析式 ; （2）设ln( ),0 xg xxex，求证：当1a时，且0 , ex，1( )( )2f xg x恒成立；（3）是否存在实数a，使得当,0 xe时，( )f x的最小值是3 ？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。请考生在第22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑. 21. （本小题满分10 分）选修 41：几何证明选讲已知 PQ 与圆 O 相切于点A，直线 PBC 交圆于 B、C 两点， D 是圆上一点， 且 AB CD ，DC的延长线交PQ 于点 Q 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -4 （1）求证：ABCQAC2（2）若 AQ=2AP ，AB=3,BP=2，求 QD. 22(本小题满分10 分) 选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为sincosbyax（ab0，为参数），以为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线 C1上的点 M)3,2(对应的参数=3，4与曲线 C2交于点 D)4,2(（1）求曲线C1，C2的方程；（2） A（ 1， ）， （ 2，+2）是曲线C1上的两点，求222111的 值 。23(本小题满分l0 分) 选修 45：不等式选讲已知关于x 的不等式axx2log|1|12|（其中0a） （1）当4a时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围数学（理科）答案一、选择题（A）卷 CACDD DBABC CC （B）CCADD BDACB CC 二、填空题13、111214、2115、等边三角形16. 2005 三、解答题17、解:（1）因为abnmcbancbam)23(),(),(，所以abcba3222，故23cosC,6,0CC. -5 分（2）21)2sin()cos()(cos)sin(2)(2xBAxBAxf=21)2sin(cos)(cossin22xCxC=21)2sin(23)(cos2xx=)62sin(x-8 分因为相邻两个极值的横坐标分别为20 x、0 x，所以)(xf的最小正周期为T,1所以)62sin()(xxf-10 分由Zkkxk,2326222所以)(xf的单调递减区间为Zkkk,32,6. -12 分18、解 :（1）取 AE 的中点 M ，连结 B1M ，因为 BA=AD=DC=21BC=a ， ABE 为等边三角精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - -5 形，则 B1M=a23，又因为面B1AE面 AECD ，所以 B1M 面 AECD ，所以43sin23313aaaaV-4 分（2）连结 ED 交 AC 于 O，连结 OF，因为 AECD 为菱形， OE=OD 所以 FO B1E，所以1/ /B EACF面。-7 分(3)连结MD ，则 AMD=090，分别以ME,MD,MB1为 x,y,z 轴建系，则)0,0,2(aE,)0,23,(aaC)0,0,2(aA,)0,23,0(aD,)23,0, 0(1aB,所 以1，)23, 0,2(1aaEB，)0,23,2(aaAD,)23, 0,2(1aaAB, 设面ECB1的 法向 量为),(zyxu，02320232azxaayxa，令 x=1, )33,33, 1(u，同理面ADB1的法向量为)33,33, 1(v，所以53313113131131311,cosvu，故面11ADBECB与面所成锐二面角的余弦值为53.-12 分19.解：依题意， 这 4 个人中， 每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设 “ 这4 个人中恰有i 人去参加甲游戏” 为事件iA(i0,1,2,3,4)，则iiiiCAP44)32()31()(（1）这 4 个人中恰有2 人去参加甲游戏的概率278)32()31()(22242CAP3 分（ 2）设 “ 这4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数” 为事件B，则精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - -6 43AAB，由于3A与4A互斥，故91)31()32()31()()()(44433443CCAPAPBP所以，这4 个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19. 7 分20.解： （1）设,0)xe，则(0, xe，所以()ln()fxaxx又因为( )f x是定义在,0)(0, eeU上的奇函数，所以( )()ln()f xfxaxx故函数( )f x的解析式为ln(),0)( )ln ,(0, axxxef xaxx xe 2 分（2）证明：当,0)xe且1a时，ln()( )ln(),( )xf xxxg xx，设ln()1( )2xh xx因为11( )1xfxxx， ；当10 x时，( )0fx，此时( )f x单调递增，所以min( )( 1)10f xf又因为2ln()1( )xh xx，所以当0ex时，( )0h x，此时( )h x单调递减，所以maxmin1111( )()1( )