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. .一、巧妙运用韦达定理例1先阅读以下第1题的解答过程1是方程x22x70的两个实数根。求2324的值。解法1 、是方程x22x70的两实数根2270 2270 且22722722324723724282282232解法2 由求根公式得121223241223(12)24(12)943(9448)32解法3 由得:2 7222218 令2324A 2324BAB42244184264 AB2(22)4()2() ()4()0 得:2A64 A32请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答以下各题2x1、x2是方程x2x90的两个实数根,求代数式。x137x223x266的值。解x1、x2是方程x2x90的两根x1x21 且x12x190 x22x290即 x12x19 x22x29x137x223x266x1(x19)7(x29)3x266x129x110x23x199x110x2310(x1x2)616例2 aa210,bb210,ab,求abab的值分析:显然二式具有共同的形式:x2x10于是a和b可视为该一元二次方程的两个根再观察待求式的构造,容易想到直接应用韦达定理求解解:由可构造一个一元二次方程x2x1=0,其二根为a、b由韦达定理,得ab1,ab1故abab2二、先恒等变形,再应用韦达定理假设条件或待证结论,经过恒等变形或换元等方法,构造出形如ab、ab形式的式子,那么可考虑应用韦达定理例3 假设实数x、y、z满足x6y,z2xy9求证:xy证明:将二式变形为xy6,xyz29由韦达定理知x、y是方程u26u(z29)0的两个根 x、y是实数,364z2360那么z20,又z为实数,z20,即0于是,方程u26u(z29)0有等根,故xy由二式,易知x、y是t23t80的两个根,由韦达定理三、一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系),可考虑用韦达定理例5 方程x2pxq0的二根之比为12,方程的判别式的值为1求p与q之值,解此方程解:设x2pxq0的两根为a、2a,那么由韦达定理,有a2aP, a2aq, P24q1 把、代入,得(3a)242a21,即9a28a21,于是a=1方程为x23x20或x23x20解得x11,x22,或x11,x22例6 设方程x2pxq0的两根之差等于方程x2qxp0的两根之差,求证:pq或pq4证明:设方程x2pxq0的两根为、,x2qxP0的两根为、由题意知,故有222222从而有()24()24把代入,有p24qq24p,即p2q24p4q0,即(pq)(pq)4(pq)0,即(pq)(pq4)0故pq0或pq40,即pq或pq4四、关于两个一元二次方程有公共根的题目,可考虑用韦达定理例7 m为问值时,方程x2mx30与方程x24x(m1)0有一个公共根?并求出这个公共根解:设公共根为,易知,原方程x2+mx30的两根为、m;x24x(m1)0的两根为、4由韦达定理,得(m)3, (4)(m1) 由得m142, 把代入得33230,即(3)(21)0210,30即3把3代入,得m2故当m2时,两个方程有一个公共根,这个公共根为3课堂练习:1.关于x的方程4x24bx7b0有两个相等的实数根,y1、y2是关于y的方程y2(2b)y40的两个根。求以、为根的一元二次方程。2.关于x的方程x2 xk0有两个不相等的实数根。1求k的取值围2化简|k2|3.关于x的方程a21x22(a2)x10有实数根。求a的取值围。提示:分a210,a210讨论4.关于x的方程x22(k1)xk22k10 1求证,对任意实数k的方程总有两个不相等的实数根。2如果a是关于y的方程y2(x1x22k)y(x1k)(x2k)0 的根。其中x1、x2是方程的两根求代数式的值。课后稳固(一) 根底练习1.方程2x22ax(a4)a0的两实根分别为x1、x2且满足(x11)(x21),求a的值。2.关于x的方程x2(5k1)xk220是否存在负数k,使方程的两个实数根的倒数和等于4,假设存在,求出满足条件的k的值,假设不存在,请说明理由。3.设、是方程x2x20的两根,不解方程,求的值。4.关于x的方程k2x2(2k1)x10有两个不相等的实数根x1、x2。1求k的取值围。2是否存在实数k,使方程的两实根互为相反数?如果存在求出k的值。如果不存在,请说明理由。解:1根据题意,得(2k1)24k20的解得k.当k时,方程有两个不相等的实数根。2存在如果方程的两实数根x1、x2互为相反数,那么x1x20 解得k,经检验k是方程的解。当k时,方程的两实数根x1、x2互为相反数。读了上面的解答过程,请判断是否错误,如果有指出错误之处,并直接写出正确答案。5.如图ABC中,ACB90,CDAB于D,假设AD、BD的长是关于x的方程x2pxq0的两根,且tgAtgB2,CD1,求p、q的值,并解此二次方程。(二) 能力提升题1.关于x的方程x2(2a1)x(a3)0.1求证:无论a为任何实数,该方程总有两个不相等的实数根。2以该方程的两根为一直角三角形的两直角边长,该三角形斜边上的中线长为,数a的值。2.方程5a22002a90及9b22002b50且ab1,求的值。3.已在ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2(2k3)xk23k20的两个实数根,第三边BC的长为5。1k为何值时,ABC是以BD为斜边的直角三角形。2k为何值时,ABC是等腰三角形,并求ABC的周长。(三) 思维拓展题、是一元二次方程的两个实数根。1是否存在实数,使成立?假设存在,求出的值;假设不存在,请说明理由。2求使的值为整数的实数的整数值。信息反应:学生今日表现:教师寄语:家长意见:家长签字:- 优选
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