. . 典型例题一例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴？解：思路一：求出M、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ/x轴，为此，将方程联立，解出直线OP的方程为即令，得M点纵坐标得证由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐思路二：利用命题“如果过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为、，那么”来证设、，并从与中消去x，得到，则有结论，即又直线OP的方程为，得因为在抛物线上，所以从而这一证法运算较小思路三：直线MQ的方程为的充要条件是将直线MO的方程和直线QF的方程联立，它的解（x ,y）就是点P的坐标，消去的充要条件是点P在抛物线上，得证这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小说明：本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时（即斜率不存在），容易证明成立典型例题二例2 已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求RAB的最大面积分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以为三角形的底，只要确定高的最大值即可解：设AB所在的直线方程为将其代入抛物线方程，消去x得当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，RAB的面积有最大值设直线l方程为代入抛物线方程得由得，这时它到AB的距离为RAB的最大面积为典型例题三例3 直线过点，与抛物线交于、两点，P是线段的中点，直线过P和抛物线的焦点F，设直线的斜率为k（1）将直线的斜率与直线的斜率之比表示为k的函数；（2）求出的定义域与单调区间分析：过点P与F，利用两点的斜率公式，可将的斜率用k表示出来，从而写出，由函数的特点求得其定义域与单调区间解：（1）设的方程为：，将它代入方程，得设，则将代入得：，即P点坐标为由，知焦点，直线的斜率函数（2）与抛物线有两上交点，且解得或函数的定义域为当时，为增函数典型例题四例4 如图所示：直线l过抛物线的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论；别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论证法一：假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线，因为直线l与抛物线交于A、B两点，所以直线l的斜率存在，且不为零；直线CD的斜率存在，且不为0设C、D的坐标分别为与则l的方程为直线l平分弦CDCD的中点在直线l上，即，化简得：由知得到矛盾，所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线证法二：假设直线l是弦CD的垂直平分线焦点F在直线l上，由抛物线定义，到抛物线的准线的距离相等，CD的垂直平分线l：与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略典型例题五例5 设过抛物线的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点；待求得的关系后再用动点坐标来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算解法一：设则：，即，把N点看作定点，则AB所在的直线方程为：显然代入化简整理得：，由、得：，化简得用x、y分别表示得：解法二：点N在以OA、OB为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设，则以OA为直径的圆方程为：设，OAOB，则在求以OB为直径的圆方程时以代，可得由得：典型例题六例6如图所示，直线和相交于点M，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若AMN为锐角三角形，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程解：以为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系由题意，曲线段C是N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点设曲线段C满足的抛物线方程为：其中、为A、B的横坐标令则，由两点间的距离公式，得方程组：解得或AMN为锐角三角形，则，又B在曲线段C上，则曲线段C的方程为典型例题七例7如图所示，设抛物线与圆在x轴上方的交点为A、B，与圆在x由上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点（1）求（2）求ABQ面积的最大值分析：由于P、Q均为弦AB、CD的中点，故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标，由两点距离公式即可求出解：（1）设由得：，由得，同类似，则，（2），当时，取最大值典型例题八例8已知直线过原点，抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，且点和点关于直线的对称点都在上，求直线和抛物线的方程分析：设出直线和抛物线的方程，由点、关于直线对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程或设，利用对称的几何性质和三角函数知识求解解法一：设抛物线的方程为，直线的方程为，则有点，点关于直线的对称点为、，则有解得解得如图，、在抛物线上两式相除，消去，整理，得，故，由，得把代入，得直线的方程为，抛物线的方程为解法二：设点、关于的对称点为、，又设，依题意，有，故，由，知，又，故为第一象限的角、将、的坐标代入抛物线方程，得，即从而，得抛物线的方程为又直线平分，得的倾斜角为直线的方程为说明：(1)本题属于点关于直线的对称问题解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大，若不仔细、沉着，难于解得正确结果解法二是利用对称图形的性质来解，它的技巧性较强，一时难于想到(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程在已知曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法，需要重点掌握典型例题九例9如图，正方形的边在直线上，、两点在抛物线上，求正方形的面积分析：本题考查抛物线的概念与其位置关系，方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以与分析问题、解决问题的能力解：直线，设的方程为，且、由方程组，消去，得，于是，(其中)由已知，为正方形，可视为平行直线与间的距离，则有，于是得两边平方后，整理得，或当时，正方形的面积当时，正方形的面积正方形的面积为18或50说明：运用方程（组）的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法，本题应充分考虑正方形这一条件典型例题十例10设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，求这彗星与地球的最短距离分析：利用抛物线有关性质求解解：如图，设彗星轨道方程为，焦点为，彗星位于点处直线的方程为解方程组得，故故，得由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点，所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点焦点到抛物线顶点的距离为，所以彗星与地球的最短距离为或，（点在点的左边与右边时，所求距离取不同的值）说明：(1)此题结论有两个，不要漏解；(2)本题用到抛物线一个重要结论：顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点，其证明如下：设为抛物线上一点，焦点为，准线方程为，依抛物线定义，有，当时，最小，故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点典型例题十一例11如图，抛物线顶点在原点，圆的圆心是抛物线的焦点，直线过抛物线的焦点，且斜率为2，直线交抛物线与圆依次为、四点，求的值分析：本题考查抛物线的定义，圆的概念和性质，以与分析问题与解决问题的能力，本题的关键是把转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题解：由圆的方程，即可知，圆心为，半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为，设抛物线方程为，为已知圆的直径，则设、，而、在抛物线上，由已知可知，直线方程为，于是，由方程组消去，得，因此，说明：本题如果分别求与则很麻烦，因此把转化成是关键所在，在求时，又巧妙地运用了抛物线的定义，从而避免了一些繁杂的运算13 / 13