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WORD零件参数的优化设计摘要本文建立了一个非线性多变量优化模型。已知粒子分离器的参数y由零件参数决定,参数的容差等级决定了产品的成本。总费用就包括y偏离y0造成的损失和零件成本。问题是要寻找零件的标定值和容差等级的最佳搭配,使得批量生产中总费用最小。我们将问题的解决分成了两个步骤:1.预先给定容差等级组合,在确定容差等级的情况下,寻找最佳标定值。2.采用穷举法遍历所有容差等级组合,寻找最佳组合,使得在某个标定值下,总费用最小。在第二步中,由于容差等级组合固定为108种,所以只要在第一步的基础上,遍历所有容差等级组合即可。但是,这就要求,在第一步的求解中,需要一个最佳的模型使得求解效率尽可能的要高,只有这样才能尽量节省计算时间。经过对模型以与matlab代码的综合优化,最终程序运行时间仅为3.995秒。最终计算出的各个零件的标定值为:=0.0750,0.3750,0.1250,0.1200,1.2919,15.9904,0.5625,等级为:一台粒子分离器的总费用为:421.7878元与原结果相比较,总费用由3074.8(元/个)降低到421.7878(元/个),降幅为86.28%,结果是令人满意的。为了检验结果的正确性,我们用计算机产生随机数的方式对模型的最优解进行模拟检验,模拟结果与模型求解的结果基本吻合。最后,我们还对模型进行了误差分析,给出了改进方向,使得模型更容易推广。关键字:零件参数 非线性规划 期望 方差一、问题重述一件产品由若干零件组装而成,标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时,标定值表示一批零件该参数的平均值,容差则给出了参数偏离其标定值的容许围。若将零件参数视为随机变量,则标定值代表期望值,在生产部门无特殊要求时,容差通常规定为均方差的倍。 进行零件参数设计,就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素:一是当各零件组装成产品时,如果产品参数偏离预先设定的目标值,就会造成质量损失,偏离越大,损失越大;二是零件容差的大小决定了其制造成本,容差设计得越小,成本越高。 试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。 粒子分离器某参数(记作y)由7个零件的参数(记作x1,x2,.,x7)决定,经验公式为:y的目标值(记作y0)为1.50。当y偏离y0+0.1时,产品为次品,质量损失为1,000元;当y偏离y0+0.3时,产品为废品,损失为9,000元。零件参数的标定值有一定的容许围;容差分为、三个等级,用与标定值的相对值表示,等为+1%,等为+5%,等为+10%。7个零件参数标定值的容许围,与不同容差等级零件的成本(元)如下表(符号表示无此等级零件):标定值容许围等等等x10.075,0.12525x20.225,0.3752050x30.075,0.1252050200x40.075,0.12550100500x51.125,1.87550x612,201025100x70.5625,0.93525100现进行成批生产,每批产量1,000个。在原设计中,7个零件参数的标定值为:x1=0.1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.1,x5=1.5,x6=16,x7=0.75;容差均取最便宜的等级。请你综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本,重新设计零件参数(包括标定值和容差),并与原设计比较,总费用降低了多少?二、模型假设1、将各零件参数视为随机变量,且各自服从正态分布;2、假设组成离子分离器的各零件互不影响,即各零件参数互相独立;3、假设小概率事件不可能发生,即认为各零件参数只可能出现在容许围;4、在大批量生产过程中,整批零件都处于同一等级,。本题可认为1000各零件都为A等、B等或C等;5、生产过程中出质量损失外无其他形式的损失;6、在质量损失计算过程中,认为所有函数都是连续可导的。三、符号说明:第i类零件参数的标定值(i=1,27);:第i类零件参数的实际值相对目标值的偏差(i=1,27);:第i类零件参数的容差(i=1,2,7);:第i类零件参数的方差(i=1,2,7);:标定值的上、下限;y:离子分离器某参数的实际值;:离子分离器该参数的目标值;:离子分离器某参数的均值;:离子分离器某参数的实际值y相对平均值的偏差;:离子分离器某参数的方差;:一批产品中正品的概率;:一批产品中次品的概率;:一批产品中废品的概率;:一批产品的总费用(包括损失和成本费);:第i类零件对应容差等级为j的成本(j=A,B,C) 单位:元/个。四、问题分析最 优 解总费用 损失费 成本费次品率 废品率 服从正态分布 容差等级服从正 容差态分布泰勒公式将 期 望 方 差 其线性化 该问题是一定约束条件下的最优化问题,经分析题意,拟建立以总费用为目标函数的非线性规划模型。总费用由损失费和成本费两部分组成,零件成本由简单的线性代数式决定,而损失费涉与概率分布的非线性函数。要求出损失费,就必须知道一批产品的次品率和废品率,结合各类零件都服从,可假设y也服从正态分布,联想正态分布的性质当各变量均服从正态分布时,其线性组合也服从正态分布。题中所给经验公式为一复杂的非线性的公式,无法直接对其分析处理,所以需借助泰勒公式将其展开并作相应处理使其线性化。而对于零件成本,需先确定容差等级才能求得成本费。由容差等级和各类零件的标定值便可知道给类零件的容差。最后,便将问题转化为、关于总目标函数的最优解的问题上。在进行零件参数设计时,如果零件设计不妥,造成产品参数偏离预先设定值,就会造成质量损失,且偏差越大,损失也越大;零件容差的大小决定了其制造成本,容差设计得越小(即精度越高)零件成本越高。合理的设计方案应既省费用又能满足产品的预先设定值,设计方向应该如下:(1)设计的零件参数,要保证由零件组装成的产品参数符合该产品的预先设定值,即使有偏离也应是在满足设计最优下的容许围。(2)零件参数(包括标定值和容差等级)的设计应使总费用最小为优。此外分析零件的成本与产品的质量损失不难发现,质量损失对费用的影响远大于零件成本对费用的影响,因而设计零件参数时,主要考虑提高产品质量来达到减少费用的目的。五、模型建立为了确定原设计中标定值(的期望值)与已给的容差对产品性能参数影响而导致的总损失,即确定偏离目标值所造成的损失和零件成本,先列出总损失的数学模型表达如下:当然,为了确定总损失,必须知道、(即正品、次品与废品的概率)。为此,将经验公式用泰勒公式在处展开并略去二次以上高次项后来研究y的概率分布,设,则将标定值带入经验公式即得所以 由于在加工零件时,在标定值知道的情况下,加工误差服从正态分布,即且相互独立,由正态分布性质可知由误差传递公式得 (1)由于容差为均方差的3倍,容差与标定值的比值为容差等级,则y的分布密度函数为y偏离的概率,即次品的概率为 (2)y偏离的概率,即废品的概率为 (3)由于y偏离越远,损失越大,所以在固定时,调整y使之等于目标值可降低损失。取即,则为标准正态分布函数。综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本,设计最优零件参数的模型建立如下:目标函数 min s.t. 六、模型求解初略分析对于原给定的设计方案,利用matlab编程计算(见附录),计算结果如下:正品率次品率废品率成本费损失费总费用0.12600.62390.25012002874.83074.8由于按原设计方案设计的产品正品率过低,损失费过高,显然设计不够合理。进一步分析发现,参数均值=1.7256偏离目标值=1.5太远,致使损失过大。尽管原设计方案保证了正本最低,但由于零件参数的精度过低,导致正品率也过低。所以我们应综合考虑成本费和损失费。模型的实现过程:本模型通过matlab进行求解,我们通过理论模型求解和随机模拟的求解过程如下:在给定容差等级的情况下,利用matlab中求解非线性规划的函数fmincon,通过多次迭代求解,最终求得一组最优解。最初,我们设定的fmincon函数的目标函数就是总费用,约束条件为各个标定值的容许围,以与各零件标定值带入产品参数表达式应为,即1.5。然而,在迭代过程中我们发现,求解过程十分慢,在给定容差等级的确定的情况下,计算最优标定值需要将近400秒,如果在此基础上对108种容错等级进行穷举查找最优组合,将需要大概12小时。显然这是不合理的。因此,我们在仔细对matlab实现代码研究发现,求解过程之所以慢,是因为代码中存在多次调用求偏导和积分的函数,在fmincon的多次迭代中,耗费大量时间。所以,为了提高求解速度,我们首先利用matlab中diff函数对产品参数中的各个表达式进行求偏导,然后得到多个带参表达式,利用int函数对y的概率密度函数进行积分,分别得到出现次品和废品概率的表达式,然后将这些表达式写进程序里,这样在求解过程中就不需要在每一次迭代中都要求偏导和积分了,修改后的程序运行时间大大减少。程序流程图确定一组容差等级初始化最小费用为INF利用fmincon寻找最佳标定值 求出总费用W Y 还有容差 N 算 法 等级未计算 结 束 Y N程序见附录,求解结果如下:零 件种 类1234567零 件参 数0.07500.37500.12500.12001.291915.99040.5625容 差等 级BBBCCBB正品率次品率废品率成本费损失费总费用0.85330.14760.0000275146.7878421.7878运行总时间:3.995s离子分离器参数均值=1.5离子分离器参数方差=0.0689模型检验对设计方案进行动态模拟,由于每种零件参数均服从正态分布,用正态分布随机数发生器在每种零件参数允许围产生1000个随机数参与真实值的计算随机模拟N次后结果如下:正品率次品率废品率
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