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. .三角形综合例题1:AD,EF,BC相交于O点,且AOOD,BOOC,EOOF求证:AEBDFC例题2:P为正方形ABCD对角线BD上任一点,PFDC,PEBC求证:APEF例题3:ABC的高AD与BE相交于H,且BHAC求证:BCHABC例题4:在正方形ABCD中,P,Q分别为BC,CD边上的点,PAQ45求证:PQPBDQ例题5:过ABC的顶点A分别作两底角B和C的角平分线的垂线,ADBD于D,AECE于E求证:EDBC例题6:如图,P是等边三角形ABC部的一点,PA2,PB,PC4, 求ABC的边长.例题7:如图( l ) ,凸四边形 ABCD ,如果点P满足APD APB =。且B P C CPD ,则称点P为四边形 ABCD的一个半等角点 ( l )在图( 3 )正方形 ABCD 画一个半等角点P,且满足。( 2 )在图( 4 )四边形 ABCD 中画出一个半等角点P,保留画图痕迹(不需写出画法) . ( 3 )若四边形 ABCD 有两个半等角点P1 、P2(如图( 2 ) ) ,证明线段P1 P2上任一点也是它的半等角点 。例题8:已知:点O到ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等,且OBOC。(1)如图1,若点O在BC上,求证:ABAC;(2)如图2,若点O在ABC的部,求证:ABAC;(3)若点O在ABC的外部,ABAC成立吗?请画图表示。练习试题:1如图,在中,和的平分线相交于点,过点作交于,交于,过点作于下列四个结论:;以为圆心、为半径的圆与以为圆心、为半径的圆外切;设则;不能成为的中位线其中正确的结论是_(把你认为正确结论的序号都填上)2如图1,AB、CD是两条线段,M是AB的中点,、和分别表示DNC、DAC、DBC的面积。当AB CD时,有 (1)(1)如图2,若图1中AB与CD不平行时,(1)式是否成立?请说明理由。(2)如图3,若图1中AB与CD相交于点O时,、和有何种相等关系?试证明你的结论。3如图,设ABC和CDE都是正三角形,且EBD62o,则AEB的度数是 (A)124o(B)122o(C)120o(D)118o4如图,ABC是等边三角形,BDC是顶角BDC120的等腰三角形,M是AB延长线上一点,N是CA延长线上一点,且MDN60.试探究MB、MN、CN之间的数量关系,并给出证明.5如图,在ABC中,ABC600,点P是ABC的一点,使得APBBPCCPA,且PA8,PC6,则PB_6如图所示,在ABC中,ABAC,ADAE,则_7(1)如图7,点O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连结AC和BD,相交于点E,连结BC求AEB的大小;(2)如图8,OAB固定不动,保持OCD的形状和大小不变,将OCD绕着点O旋转(OAB和OCD不能重叠),求AEB的大小.8两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,在同一条直线上,连结(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母);(2)证明:9如图,AD是ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出ABC是等腰三角形的是_。(把所有正确答案的序号都填写在横线上)BADACD BADCAD,ABBDACCD ABBDACCD参考答案例题1、证明:OAEODF,因为:二边与夹角(对等角)相等,得:AE=DF。同理证得:OBEOCF,OABOCD,得:EB=CF,AB=CD。因为:AE=DF,EB=CF,AB=CD三边相等。所以:AEBDFC例2 F于点G 延长EP交AB于M,延长FP交AD于NP为正方形ABCD对角线BD上任一点PM=PF,PN=PE又AMPN为矩形. AN=PM=PFEPF=BAC=90PEFANPNAP = PFE又NPA=FPG(对顶角) NAP +NPA=90PFE+FPG=90PGF=180-(PFE+FPG)=90APEF例3 BHAC,BDHADC90,HBDCAD(这个知道的吧)BDHADCHDCD,BD=ADHDC与ABD是等腰直角三角形BCHABD=45例4:在CB的延长线上取点G,使BGDQ,连接AG正方形ABCDABAD,BADABGD90BGDQABGADQ (SAS)AQAG,BAGDAQPAQ45BAP+DAQBAD-PAQ45PAGBAP+BAGBAP+DAQ45PAGPAQAPAPAPQAPG (SAS)PQPGPGPB+BGPB+DQPB+DQPQ例5、例6例7(1) 根据题意可知,所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点因为在图形部,所以不能是AC的端点,又由于,所以不是AC的中点(2)画点B关于AC的对称点B,延长DB交AC于点P,点P为所求(因为对称的两个图形完全重合)(3)先连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B,根据题意AP1D=AP1B,DP1C=BP1CAP1B+BP1C=180度P1在AC上,同理,P2也在AC上,再利用ASA证明DP1P2BP1P2而,那么P1DP2和P1BP2关于P1P2对称,P是对称轴上的点,所以DPA=BPA,DPC=BPC即点P是四边形的半等角点解答:解:(1)所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点,即给(4分)(2)画点B关于AC的对称点B,延长DB交AC于点P,点P为所求(不写文字说明不扣分)给(3分)(说明:画出的点P大约是四边形ABCD的半等角点,而无对称的画图痕迹,给1分)(3)连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B,根据题意,AP1D=AP1B,DP1C=BP1C,AP1B+BP1C=180度P1在AC上,同理,P2也在AC上(9分)在DP1P2和BP1P2中,DP2P1=BP2P1,DP1P2=BP1P2,P1P2公共,DP1P2BP1P2(11分)所以DP1=BP1,DP2=BP1,DP2=BP2,于是B、D关于AC对称设P是P1P2上任一点,连接PD、PB,由对称性,得DPA=BPA,DPC=BPC,所以点P是四边形的半等角点例8证明:(1)过点O分别作OEAB,OFAC,E、F分别是垂足,由题意知,OE=OF,OB=OC,RtOEBRtOFCB=C,从而AB=AC。(2)过点O分别作OEAB,OFAC,EF分别是垂足,由题意知,OE=OF。在RtOEB和RtOFC中,OE=OF,OB=OC,RtOEBRtOFE。 OBE=OCF, B=OC知OBC=OCB,ABC=ACD, AB=AC。(3)解:不一定成立。注:当A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时,有AB=AC;否则,ABAC,如示例图练习13解:等边ABC、等边CDE AC=BC,CE=CD,BACABCACB=ECD=60ACE=ACB-BCE,BCD=ECD-BCEBCD=ACEACEBCD (SAS)CBD=CAEEBD62CBDEBD-CBD62-CBECAE62-CBEBAEBAC-CAE60-62+CBE-2+CBEABE+BAE60-CBE-2+CBE58AEB180-(ABE+BAE)1224CNBM MN证明:延长AC至M1,使CM1BM,连结DM1 由已知条件知:ABCACB60,DBCDCB30ABDACD90 BDCD RtBDMRtCDM1 MDBM1DC,而 DMDM1 MDM1(120MDB)M1DC120 又MDN60M1DNMDN60MDNM1DN MNNM1NCCM1CNBM即CNBM MN5(1)证明:APB=BPC=CPA,三角之和是360APB=BPC=120PAB+PBA=180-120=60 ABC=PBC+PBA=60PAB=PBCPABPBCAPB=BPC,PAB=PBC(2)解:PABPBCPA/PB =PB/PC推出PB=PAPC=68=48PB=48=436设EDC=x, B=C=yAED=EDC+C=x+y又因为AD=AE, 所以ADE=AED=x+y则ADC=ADE+EDC=2x+y又因为ADC=B+BAD所以 2x+y=y+30解得x=15所以EDC的度数是15度71)如图3,OCD和ABO都是等边三角形,且点O是线段AD的中点,OD=OC=OB=OA,1=2=60,4=5又4+5=2=60,4=30同理6=30AEB=4+6,AEB=60(2)如图4,OCD和ABO都是等边三角形,OD=OC,OB=OA,1=2=60又OD=OA,OD=OB,OA=OC,4=5,6=7DOB=1+3,AOC=2+3,DOB=AOC4+5+DOB=180,6+7+AOC=180,25=26,5=6又AEB=8-5,8=2+6,AEB=2+5-5=2,AEB=608可以找出BAECAD,条件是AB=AC,DA=EA,BAE=DAC=90+CAE由可得出DCA=ABC=45,则BCD=90,所以DCBE解答:解:ABC,DAE是等腰直角三角形,AB=AC,AD=AE,B
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