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第12集 利用均值不等式求最值利用均值不等式求最值应同时满足三个条件:(1)一正,即各项或各因式为正;(2)二定,即和或者积为定值;(3)三相等,即各项或各因式能取到使等号成立的条件。若题目直接满足均值不等式的条件,则直接使用均值不等式求得最值;若不能直接满足均值不等式的条件,则改变结构,通过代换创造使用均值不等式的条件;若一次使用均值不等式不能达到目的,则多次使用,但要注意取等一致。一套路二脑洞法1,消元法,这是解决二元问题最直观的想法,将二元转化为一元,然后利用分离常数法构造使用均值不等式的条件,由均值不等式求出最小值。法2,1的代换,借1代换是数学中一个非常有用的技巧,在三角函数中也经常使用,通过1的代换后构造使用均值不等式,进而求得最小值。法3,万能设t法,这其实是一种主元的思想,通过t的代换,得到一个关于主元的一元二次方程,然后利用判别式求得t的范围。法4,柯西不等式,柯西不等式简直就是解决最值问题的一把屠龙刀,干脆利索。值得说明的是,均值不等式求最值的难点在于构造,常常使用“拆、拼、凑”等技巧,使其满足均值不等式中“正、定、等”的条件。三迁移
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