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第八周 巧妙求和(一)专题简析:若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中项的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。在这一章要用到两个非常重要的公式:“通项公式”和“项数公式”。通项公式: 第n项=首项+(项数1)公差项数公式: 项数=(末项首项)公差1例1:有一个数列:4,10,16,22,52,这个数列共有多少项?分析与解答:容易看出这是一个等差数列,公差为6,首项是4,末项是52,要求项数,可直接带入项数公式进行计算。项数=(524)61=9,即这个数列共有9项。练 习 一1,等差数列中,首项=1,末项=39,公差=2,这个等差数列共有多少项?2,有一个等差数列:2,5,8,11,101,这个等差数列共有多少项?3,已知等差数列11,16,21,26,1001,这个等差数列共有多少项?例2:有一等差数列:3,7,11,15,这个等差数列的第100项是多少?分析与解答:这个等差数列的首项是3,公差是4,项数是100。要求第100项,可根据“末项=首项+公差(项数1)”进行计算。第100项=3+4(1001)=399练 习 二1,一等差数列,首项=3,公差=2,项数=10,它的末项是多少?2,求1,4,7,10这个等差数列的第30项。3,求等差数列2,6,10,14的第100项。例3:有这样一个数列:1,2,3,4,99,100。请求出这个数列所有项的和。分析与解答:如果我们把1,2,3,4,99,100与列100,99,3,2,1相加,则得到(1+100)+(2+99)+(3+98)+(99+2)+(100+1),其中每个小括号内的两个数的和都是101,一共有100个101相加,所得的和就是所求数列的和的2倍,再除以2,就是所求数列的和。1+2+3+99+100=(1+100)1002=5050上面的数列是一个等差数列,经研究发现,所有的等差数列都可以用下面的公式求和:等差数列总和=(首项+末项)项数2这个公式也叫做等差数列求和公式。练 习 三计算下面各题。(1)1+2+3+49+50(2)6+7+8+74+75(3)100+99+98+61+60例4:求等差数列2,4,6,48,50的和。分析与解答:这个数列是等差数列,我们可以用公式计算。要求这一数列的和,首先要求出项数是多少: 项数=(末项首项)公差+1=(502)2+1=25首项=2,末项=50,项数=25等差数列的和=(2+50)252=650练 习 四计算下面各题。(1)2+6+10+14+18+22(2)5+10+15+20+195+200(3)9+18+27+36+261+270例5:计算(2+4+6+100)(1+3+5+99)分析与解答:容易发现,被减数与减数都是等差数列的和,因此,可以先分别求出它们各自的和,然后相减。进一步分析还可以发现,这两个数列其实是把1 100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列,每个数列都有50个项。因此,我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减,可得到50个差,再求出所有差的和。(2+4+6+100)(1+3+5+99)=(21)+(43)+(65)+(10099)=1+1+1+1=50练 习 五用简便方法计算下面各题。(1)(2001+1999+1997+1995)(2000+1998+1996+1994)(2)(2+4+6+2000)(1+3+5+1999)(3)(1+3+5+1999)(2+4+6+1998)
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