湖南省湘潭市湘乡树人中学2021年高二数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中均大于0，则的最小值为A2 B4 C8 D16参考答案：C略2. 如图所示的算法框图输出的结果为（）A1B2C4D8参考答案：D【考点】程序框图【分析】按照程序框图的流程，写出前几次循环的结果，并判断每次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到不满足执行输出【解答】解：第1步：a=13，此时b=2，a=2，第2步：a=2，a3，b=4，a=3，第3步，a=33，b=8，a=4，第4步，a=43，输出b=8，故选：D3. 数列an满足a1=1， =，记Sn=ai2ai+12，若Sn对任意的n（nN*）恒成立，则正整数t的最小值为（）A10B9C8D7参考答案：C【考点】数列与不等式的综合【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用【分析】先求出数列an2的通项公式，再求Sn，注意运用裂项相消求和，以及不等式的性质，可求正整数t的最小值【解答】解：a1=1， =，+4=，=4，是首项为1，公差为4的等差数列，=4n3，an2=，an2?an+12=?=（），Sn=ai2ai+12=（1+）=（1）Sn对任意的n（nN*）恒成立，即为t30?=7.5，而t为正整数，所以，tmin=8故选C【点评】本题考查利用数列的递推式求通项公式及函数的恒成立问题，学会用不等式处理问题本题对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，属于中档题4. 设变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是（ ） A B. C D. 参考答案：A5. 设向量a与向量b垂直，且，则下列向量与向量共线的是（ ）A. (1,8)B. (16,2)C.(1,8)D. (16,2) 参考答案：B【分析】先利用向量与向量垂直，转化为两向量数量积为零，结合数量积的坐标运算得出的值，并求出向量的坐标，结合共线向量的坐标等价条件可得出选项。【详解】因为向量与向量垂直，所以，解得，所以，则向量与向量共线，故选：B。【点睛】本题考查向量垂直与共线坐标的等价条件，解题时要充分利用这些等价条件列等式求解，考查计算能力，属于中等题。6. 下列命题是真命题的是（ ）A“若，则”的逆命题； B“若，则”的否命题；C“同位角相等”的逆命题； D“若，则”的逆否命题参考答案：D略7. 由曲线与，所围成的平面图形的面积为 （ ）A. B1 C D2参考答案：A略8. 函数f（x）=，若f（a）=1，则a的值是（）A1或2B1C2D1或2参考答案：C【考点】函数的值【分析】根据解析式对a分类讨论，分别代入解析式化简f（a）=1求出a的值【解答】解：由题意得，f（x）=，当a2时，f（a）=3a2=1，则a=2，舍去；当a2时，f（a）=1，解得a=2或a=2（舍去），综上可得，a的值是2，故选C9. 直角梯形ABCD如图（1），动点P从B点出发，由BCDA沿边运动，设点P运动的路程为x，ABP面积为f(x).若函数y= f(x)的图象如图（2），则ABC的面积为 （ ） A10 B16 C18 D32参考答案：B10. 已知ABC的三个顶点落在半径为R的球O的表面上，三角形有一个角为且其对边长为3，球心O到ABC所在的平面的距离恰好等于半径R的一半，点P为球面上任意一点，则P-ABC三棱锥的体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 参考答案：C【分析】设外接圆的圆心为，则平面，所以，设外接圆的半径为，利用正弦定理即可求得：，再利用截面圆的性质可列方程：，即可求得，即可求得点到平面的距离的最大值为，利用余弦定理及基本不等式即可求得：，再利用锥体体积公式计算即可得解。【详解】设外接圆的圆心为，则平面，所以设外接圆的半径为，由正弦定理可得：，解得：由球的截面圆性质可得：，解得：所以点到平面的距离的最大值为：.在中，由余弦定理可得：当且仅当时，等号成立，所以.所以，当且仅当时，等号成立.当三棱锥的底面面积最大，高最大时，其体积最大.所以三棱锥的体积的最大值为故选：C【点睛】本题主要考查了球的截面圆性质，还考查了转化思想及正、余弦定理应用，考查了利用基本不等式求最值及三角形面积公式、锥体体积公式，还考查了计算能力及空间思维能力，属于难题。二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取_名学生。参考答案：1512. 对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），给出定义：设f（x）是函数y=f（x）的导数，f是f（x）的导数，若方程f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心请你根据这一发现，求：函数对称中心为 参考答案：（，1）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先求f（x）得解析式，再求f（x），由f（x）=0 求得拐点的横坐标，代入函数解析式求拐点的纵坐标【解答】解：依题意，得：f（x）=x2x+3，f（x）=2x1由f（x）=0，即2x1=0x=，又 f（）=1，函数对称中心为（，1）故答案为：（，1）13. 在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线方程_.参考答案：略14. 四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是，表面积的最大值是 参考答案：，【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】当平面ABC平面BDC时，该四体体积最大；当ACCD，ABBD时，该四面体表面积取最大值【解答】解：四面体ABCD中，AB=AC=BC=BD=CD=1，当平面ABC平面BDC时，该四体体积最大，此时，过D作DE平面ABC，交BC于E，连结AE，则AE=DE=，该四面体体积的最大值：Smax=ABC，BCD都是边长为1的等边三角形，面积都是S=，要使表面积最大需ABD，ACD面积最大，当ACCD，ABBD时，表面积取最大值，此时=，四面体表面积最大值Smax=1+故答案为：，【点评】本题考查四面体的体积的最大值和表面积最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养15. 为了解学案的使用是否对学生的学习成绩有影响，随机抽取100名学生进行调查，得到22列联表，经计算的观测值，则可以得到结论：在犯错误的概率不超过 的前提下，认为学生的学习成绩与使用学案有关.参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828参考答案：0.01 16. 已知一物体运动的位移S(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系式是,则该物体运动过程中速度不超过4m/s的时间是 .参考答案： 6 17. 已知中, ,则的最小值为_参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分14分）已知数列满足：，数列满足（1）若是等差数列，且，求的值及的通项公式；（2）若是等比数列，求的前项和参考答案：解 ：（1）因为是等差数列，2分，解得或（舍去），5分7分（2）因为是等比数列，9分当时，；11分当时， 14分19. 已知函数.(1) 判断函数f（x）在（0，上单调性；(2) 若恒成立, 求整数的最大值；(3) 求证：.参考答案：(1) 上是减函数 4分(2)即h(x)的最小值大于k. 则上单调递增, 又 存在唯一实根a, 且满足当 故正整数k的最大值是3 -9分(3)由()知令, 则 ln(112)ln(123)ln1n(n1)(112)(123)1n(n1)e2n3 略20. 在中,角A,B,C对边a,b,c,若函数为偶函数，且.（1）求角B的大小；（2）若的面积为，其外接圆半径为，求的周长.参考答案： 略21. 已知复数（I）当实数m为何值时，z为纯虚数？（II）当实数m为何值时，z对应点在第三象限？参考答案：（1）略22. （本小题满分13分）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在（）要使矩形的面积大于36平方米，则的长应在什么范围内？ （）当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值参考答案：