湖南省益阳市修山镇中学2020-2021学年高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在中，角A,B,C所对的边分别为表示的面积，若，则A.30B.45C.60D.90 参考答案：B根据正弦定理得，即，所以。即。由得，即，即，所以，所以，选B.2. 如图所示程序框图中，输出(A) (B) (C) (D) 参考答案：B3. 在正项等比数列中，则的值是（A） （B） （C） （D）参考答案：C4. 若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（ ）A0.18B0.32C0.36D0.64参考答案：C设路车和路车的进站时间分别为、，“进站时间的间隔不超过分钟”为时间，则图中阴影区域的面积，则，故选C5. 已知的值是 （ ） A B C D参考答案：B6. 函数y=ax-1+1 (a0且a1)的图象一定经过点() A.（0，1） B. （1，0） C. （1，2） D. （1， 1）参考答案：C7. 已知函数为奇函数，且当x0时，,则=A. 2 B.0 C1 D-2参考答案：D8. 参考答案：B9. 已知分别是双曲线的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A(1, 2) B(2, +) C D参考答案：A如图1，不妨设，则过F1与渐近线平行的直线为，联立解得即因M在以线段为直径的圆内，故，化简得, 即，解得，又双曲线离心率，所以双曲线离心率的取值范围是(1，2). 选择A.10. 函数在同一直角坐标系下的图象大致是（）A B C D参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 富华中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同。三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象。刘老师猜了三句话：“张博源研究的是莎士比亚，刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹，高家铭自然不会研究莎士比亚，”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句。据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是_.（A莎士比亚、B雨果、C曹雪芹，按顺序填写字母即可。）参考答案：C,A,B12. 已知函数f（x）=4lnx+ax26x+b（a，b为常数），且x=2为f（x）的一个极值点，则a的值为 参考答案：1 【考点】利用导数研究函数的极值【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用【分析】求出函数的导数，得到f（2）=0，解出即可【解答】解：函数f （x）的定义域为（0，+），f（x）=+2ax6，x=2为f（x）的一个极值点，f（2）=2+4a6=0，a=1，故答案为：1【点评】本题考查了函数的极值的意义，考查导数的应用，是一道基础题13. 已知，x表示不大于x的最大整数，如，则使成立的x的取值范围是_参考答案：略14. 已知向量，的夹角为60，|=2，|=1则在上的投影为 参考答案：1【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据平面向量数量积的定义，得到向量在向量方向上的投影为|cos，计算即可【解答】解：向量，的夹角为=60，|=2，则在上的投影为|cos=2cos60=1故答案为：115. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标系方程为，直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的轴的非负半轴为极轴，则与的交点A的直角坐标是 参考答案：略16. 在ABC中，ABBC，AC2，P是ABC内部一点，且满足 ，则|PA|+|PB|+|PC|_参考答案：【分析】根据等比的性质可得，利用三角形的面积公式以及向量的乘法公式化简，即可得到，由此可得与各个内角大小，利用正弦定理即可求得。【详解】根据题意，中， ，则为等腰直角三角形；如图：若 ，则即 ，变形可得：，即，又由，则，易得：，则，在中，且，则，则，解可得：，在，则有，解可得：，则；故答案为：【点睛】本题考查三角形面积公式以及正弦定理在三角形中的应用，有一定综合性，属于中档题。17. 已知函数，则 ；参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数f（x）=ex（ax+b）x24x，曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y=4x+4（）求a，b的值；（）求f（x）的极大值参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数在某点取得极值的条件【专题】导数的综合应用【分析】（I）f（x）=ex（ax+a+b）2x4，由于曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y=4x+4，可得，解得即可（II）由（I）可知：f（x）=4ex（x+1）x24x，f（x）=4ex（x+2）2x4=分别由f（x）0；由f（x）0解得函数f（x）单调区间进而得到函数的极大值【解答】解：（I）f（x）=ex（ax+a+b）2x4，曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y=4x+4，解得a=b=4（II）由（I）可知：f（x）=4ex（x+1）x24x，f（x）=4ex（x+2）2x4=由f（x）0解得x2，xln2，此时函数f（x）单调递增；由f（x）0解得2xln2，此时函数f（x）单调递减故当x=2时，函数f（x）取得极大值，f（2）=4（1e2）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、切线方程等基础知识与基本技能方法，属于中档题19. 已知分别为ABC中角A，B，C的对边，角A为锐角且（1）求角A的大小；（2）若，求ABC的面积S.参考答案：略20. 已知等差数列an满足a3=7，a5+a7=26an的前n项和为Sn（1）求an及Sn；（2）令bn=（nN*），求数列bn的前n项和Tn参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的前n项和【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出（2）an=2n+1，可得bn=，再利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，a1+2d=7，2a1+10d=26，解得a1=3，d=2an=a1+（n1）d=2n+1，Sn=n2+2n（2）an=2n+1，bn=，因此Tn=b1+b2+bn=+=【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21. （14分）已知椭圆E：（ab0）经过点A（2，3），离心率e=（1）求椭圆E的方程；（2）若F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆E的另一个交点为B，C为椭圆E上的一点，当ABC的面积最大时，求C点的坐标参考答案：【考点】圆锥曲线的最值问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出a，b即可得到椭圆方程（2）求出焦点坐标，得到直线AF1的方程，直线AF2的方程，设P（x，y）为直线l上任意一点，利用，求出直线l的方程为2xy1=0设过C点且平行于l的直线为2xy+m=0，联立直线与椭圆方程的方程组，求出m然后求解C点的坐标【解答】解：（1）由椭圆E经过点A（2，3），离心率，可得解得椭圆E的方程为（2）由（1）可知F1（2，0），F2（2，0），则直线AF1的方程为，即3x4y+6=0，直线AF2的方程为x=2，由点A在椭圆E上的位置易知直线l的斜率为正数设P（x，y）为直线l上任意一点，则，解得2xy1=0或x+2y8=0（斜率为负数，舍去）直线l的方程为2xy1=0设过C点且平行于l的直线为2xy+m=0，由整理得19x2+16mx+4（m212）=0，由=（16m）24194（m212）=0，解得m2=76，因为m为直线2xy+m=0在y轴上的截距，依题意，m0，故解得x=，y=C点的坐标为【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力22. 椭圆：，其长轴是短轴的两倍，以某短轴顶点和长轴顶点为端点的线段作为直径的圆的周长为，直线l与椭圆交于，两点.（1）求椭圆C的方程；（2）过点O作直线l的垂线，垂足为D.若，求点D的轨迹方程；（3）设直线OA，l，OB的斜率分别为，其中且.设的面积为S.以OA、OB为直径的圆的面积分别为，求的取值范围.参考答案：（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由题意知a2b，且，由此能求出椭圆方程（2）先考虑直线斜率存在时，设直线的方程为，和椭圆的方程联立，结合向量的垂直关系即可找到找m，k的关系式，从而求得再验证斜率不存在时也满足，则可得点的轨迹方程.（3）设直线l的方程为ykx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，利用韦达定理、椭圆弦长公式结合已知条件能求出的取值范围【详解】（1）由题可知，且，解得：，故椭圆的方程为：.（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，由可得，由韦达定理有：且，即由韦达定理代入化简得：垂直直线， 当直线斜率不存在时，设：，易求，此时所以点的轨迹方程为.（3）设直线的方程为，由可得，由韦达定理有：且，即由韦达定理代入化简得：.，此时，即.故又为定值.当且仅当时等号成立.综上：.【点睛】本题考查椭圆方程的求法及求曲线的方程，考查弦长公式、三角形面积公式及直线与椭圆位置关系的应用，考查了函数思想，属于较难题