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湖南省衡阳市市第二十六中学2021年高三数学理下学期期末试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f(x)=|mx|xn|(0n1+m),若关于x的不等式f(x)0的解集中的整数恰有3个,则实数m的取值范围为( ) (A)3m6 (B)1m3 (C)0m1 (D)1m0参考答案:B【知识点】根的存在性及根的个数判断B10解析:f(x)=|mx|xn|0,即|mx|xn|,(mx)2(xn)20,即(m1)x+n(m+1)xn0,由题意:m+10,f(x)0的解集中的整数恰好有3个,可知必有m10,即m1,(否则解集中的整数不止3个)故不等式的解为,0n1+m,所以解集中的整数恰好有3个当且仅当,即2(m1)n3(m1),又n1+m,所以2(m1)n1+m,即2(m1)1+m,解得m3,从而1m3,故选:B【思路点拨】根据f(x)=|mx|xn|0,及题意得m1,从而,再根据解集中的整数的个数可知2(m1)n3(m1),解之即可2. 函数y=的图象大致是()ABCD参考答案:D【考点】4N:对数函数的图象与性质【分析】先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个,再通过对数函数,当x=1时,函数值为0,可进一步确定选项【解答】解:f(x)=f(x)是奇函数,所以排除A,B当x=1时,f(x)=0排除C故选D3. 若是和的等比中项,则圆锥曲线的离心率是 ( )A B C或 D或参考答案:D4. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A. 45B. 54C. 57D. 63参考答案:B【分析】由三视图得,该几何体是棱长为3的正方体截去一个棱长为1的正方体得到的组合体.【详解】由三视图得,该几何体是棱长为3的正方体截去一个棱长为1的正方体,如图所示,所以该几何体的表面积与棱长为3的正方体的表面积相等,即所求表面积为故选:B【点睛】本题考查了正方体的三视图,结构特征与表面积的计算问题,属于基础题5. 已知函数f(x),若f (a)f (1)0,则实数a的值等于( )A3 B1 C3 D1参考答案:A6. 函数的定义域是()ABCD0,+)参考答案:B【考点】函数的定义域及其求法【分析】由对数函数的性质得到关于x的不等式组,解出即可【解答】解:由题意得:,解得:x且x0,故选:B【点评】本题考查了求函数的定义域问题,考查对数函数的性质,是一道基础题7. 若集合,则AB=( )A. B. C. D. 参考答案:C【分析】利用交集的定义可求.【详解】,故选:C.【点睛】本题考查集合的运算(交),此类问题属于基础题.8. 设为坐标原点,第一象限内的点的坐标满足约束条件,若的最大值为40,则的最小值为( )(A) (B) (C)1 (D)4参考答案:B略9. 已知成等差数列,且,则的取值范围是( )A B C D参考答案:,即,所以,解得,故选A.考点:1.等差数列的性质;2.基本不等式.【方法点睛】本题主要考察了基本不等式,属于基础题型,根据条件求的取值范围,所以涉及消掉另外两个量,所以根据条件,这样就消掉另外两个量了,常用的基本不等式和重要不等式包括,.10. 在ABC中,角A,B,C对边分别是a,b,c,满足,则ABC的面积为( )A. B. C. D. 参考答案:B【分析】化简,再利用余弦定理即可求出的值,代入三角形面积公式即可。【详解】,又,由余弦定理可得: ,解得:,由三角形面积公式可得 故答案选B。【点睛】本题考查余弦定理、三角形的面积公式,考查学生化简、变形的能力,属于中档题。二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知等比数列中,各项都是正数,且成等差,则=_。参考答案:略12. 正数a,b满足ab,ab1,则的最小值为 。参考答案:213. 在如图的表格中,每格填上一个数字后,使得每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则的值为_ 参考答案:1由题意知,所以。第三列和第五列的公比都为,所以,所以,即。,所以。14. 将正整数1,2,3,n,排成数表如表所示,即第一行3个数,第二行6个数,且后一行比前一行多3个数,若第i行,第j列的数可用(i,j)表示,则2015可表示为 第1列第2列第3列第4列第5列第6列第7列第8列第1行123第2行987654第3行1011121314151617参考答案:(37,17)【考点】等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】由等差数列可得第36行的第1个数为1998,第37行共111个数,第一个为1999,可得2015为第37行的第17个数,可得答案【解答】解:第一行有a1=3个数,第二行有a2=6个数,每一行的数字个数组成3为首项3为公差的等差数列,第n行有an=3+3(n1)=3n个数,由求和公式可得前n行共个数,经验证可得第36行的第1个数为=1998,按表中的规律可得第37行共337=111个数,第一个为1999,2015为第37行的第17个数,故答案为:(37,17)【点评】本题考查等差数列的求和公式和通项公式,从表中得出规律是解决问题的关键,属中档题15. (几何证明选讲选做题)如图,与圆相切点,为圆的割线,并且不过圆心,已知,则 ;圆的半径等于 参考答案:12,716. 设sin2=sin,(,),则tan的值是参考答案:【考点】二倍角的余弦;同角三角函数间的基本关系【专题】三角函数的求值【分析】依题意,利用二倍角的正弦可得cos=,又(,),可求得的值,继而可得tan的值【解答】解:sin2=2sincos=sin,cos=,又(,),=,tan=故答案为:【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系与二倍角的正弦,属于基础题17. 已知二项式展开式中含项的系数为80,则实数的值是 。参考答案:答案:解析:,得 三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 在ABC中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,满足.(1)求角A;(2)若,求ABC的面积.参考答案:(1)中,由条件及正弦定理得,.,.(2),由余弦定理得,.19. (本小题满分13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD为正方形,且PA=AD=2,E、F分别为棱AD、PC的中点.()求异面直线EF和PB所成角的大小;()求证:平面PCE平面PBC;()求二面角E-PC-D的大小.参考答案:以直线AB为x轴,直线AD为z轴建立间直角坐标系,如图,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2). ()E为AD中点,E(0,1,0).又F为PC中点,F(1,1,1).又cos=90,异面直线EF和PB所成角的大小为90.4分 ()由()知EFPB,又EFBC.EF平面PBC,又EF平面PCE,平面PCE平面PBC.8分 ()过点D作DHPC于H. 在RtPDC中,PD=2DC=2,PC=2则CH=:HC=2:1, 又P(0,0,2),C(2,2,0). H().又,cos=30.12分二面角E-PC-D的大小为30. 13分20. 正项等比数列an中,已知,.()求an的前n项和Sn;()对于()中的Sn,设,且,求数列bn的通项公式.参考答案:解:()设正项等比数列的公比为,则由及得,化简得,解得或(舍去).于是,所以,.()由已知,所以当时,由累加法得.又也适合上式,所以的通项公式为,.21. (本小题满分14分)已知函数 . (I)求函数 的单调区间; ()若函数 在定义域内存在零点,求a的最大值 ()若 ,当 时,不等式 恒成立,求a的取随范围参考答案:22. 在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的圆心的极坐标为(,),半径r=,点P的极坐标为(2,),过P作直线l交圆C于A,B两点(1)求圆C的直角坐标方程;(2)求|PA|?|PB|的值参考答案:解:(1)圆C的圆心的极坐标为C(,),x=1,y=1,圆C的直角坐标方程为(x1)2+(y1)2=2(2)点P的极坐标为(2,),化为直角坐标P(2,0)当直线l与圆C相切于等D时,则|PD|2=|PC|2r2=(21)2+(01)2=8|PA|?|PB|=|PD|2=8略
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