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湖南省衡阳市耒阳第二中学2020年高三数学理测试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为 ( ) A1 B3 C4 D8参考答案:C2. 从6人中选4人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且在这6人中甲、乙不去哈尔滨游览,则不同的选择方案共有A.300种 B.240种 C.144种 D.96种参考答案:B略3. 已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则点A到抛物线的准线的距离为()A6B5C4D3参考答案:A【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】根据直线方程可知直线恒过定点,如图过A、B分别作AMl于M,BNl于N,根据|FA|=2|FB|,推断出|AM|=2|BN|,点B为AP的中点、连接OB,可知|OB|=|AF|,推断出|OB|=|BF|,进而求得点B的横坐标,即可求得点A到抛物线的准线的距离【解答】解:设抛物线C:y2=8x的准线为l:x=2,直线y=k(x+2)恒过定点P(2,0)如图过A、B分别作AMl于M,BNl于N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点、连接OB,则|OB|=|AF|,|OB|=|BF|,点B的横坐标为1,|AM|=6,点A到抛物线的准线的距离为6故选:A【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题4. 为得到函数的图象,只要把函数图象上所有的点( )A横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变B横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变C纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变D纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变参考答案:A考点:函数y=Asin(x+)的图象变换 专题:三角函数的图像与性质分析:由条件根据函数y=Asin(x+)的图象变换规律,可得结论解答:解:把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,可得函数的图象,故选:A点评:本题主要考查函数y=Asin(x+)的图象变换规律,属于基础题5. 函数的零点个数A.3 B.2 C.1 D.0参考答案:B6. 已知全集,集合,则C= ( )A(-,0 B2,+ C D0,2参考答案:C7. 设z =, 则复数z的虚部为A. 1 B. - 1 C. i D. - i 参考答案:答案:B 8. 已知是两条直线,是两个平ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u面,给出下列命题:若,则;若平面上有不共线的三点到平面的距离相等,则;若为异面直线,则其中正确命题的个数是A个 B个 C个 D个参考答案:B略9. 已知是空间四点,命题甲:四点不共面,命题乙:直线和不相交,则甲是乙成立的 答( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件参考答案:A若四点不共面,则直线和不共面,所以和不相交。若直线和不相交,和平行时,四点共面,所以甲是乙成立的充分不必要条件,选A.10. 如果函数y=2x2+(2ab)x+b,当y0时,有1x2,则a、b的值为( )Aa=1,b=4B a=,b=2Ca=1,b=4Da=1,b=4参考答案:C【考点】二次函数的性质【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用【分析】由已知可得1,2是方程2x2+(2ab)x+b=0的两根,由韦达定理得:,解得答案【解答】解:当y0时,有1x2,1,2是方程2x2+(2ab)x+b=0的两根,由韦达定理得:,解得:a=1,b=4,故选:C【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过曲线上一点P的切线平行于直线,则切点的坐标为_参考答案:【知识点】导数的应用B12【答案解析】(1,0)或(-1,-4)由y=x3+x-2,求导数得y=3x2+1,由已知得3x2+1=4,解之得x=1当x=1时,y=0;当x=-1时,y=-4切点P0的坐标为(1,0)或(-1,-4)【思路点拨】先求导函数,由导数的几何意义令导函数等于4建立方程,求出方程的解,即可求出切点的横坐标,代入原函数即可求出切点坐标12. 若不等式对一切非零实数恒成立,则实数的取值范围是 参考答案:13. 若向量,则 参考答案:14. 现有一根n节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为10 cm,最下面的三节长度之和为114 cm,第6节的长度是首节与末节长度的等比中项,则n_.参考答案:16略15. 某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验,根据收集到的数据(如表),由最小二乘法求得回归方程为现在发现表中有一个数据模糊看不清,请你推断出该数据的值为 参考答案:68 16. 关于圆,有下列命题:圆过定点;当时,圆与轴相切;点到圆上点的距离的最大值为;存在,使圆与轴,轴都相切.其中真命题是 .(写出所有真命题的序号)参考答案:略17. 已知集合A=1,2,3,B=2,4,5,则集合AB中元素的个数为 参考答案:5【考点】并集及其运算【分析】求出AB,再明确元素个数【解答】解:集合A=1,2,3,B=2,4,5,则AB=1,2,3,4,5;所以AB中元素的个数为5;故答案为:5三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分14分)如图所示,在所有棱长都为的三棱柱中,侧棱,点为棱的中点(1)求证:平面;(2)求四棱锥的体积参考答案:(1)连结,设与交于点,1分则点是的中点,连结,2分因为点为的中点,所以是的中位线, 所以, 4分因为平面,面,5分所以平面. 6分(2)取线段中点,连结, 7分 ,点为线段中点, . 9分又平面即平面,平面 , 11分 , 平面,则是四棱锥的高 12分. 14分19. (本小题满分12分)如图,在三棱锥中,侧面与底面垂直,分别是的中点,.(1)若点在线段上,问:无论在的何处,是否都有?请证明你的结论;(2)求二面角的平面角的余弦值.参考答案:(1) 在中,/,,平面平面,平面,平面, , 平面, 平面, ,所以无论在的何处,都有. 6分(2) 由(1)平面,又,平面,是二面角的平面角,在中,所以二面角的平面角的余弦值为, 12分法二:(1) 是的中点, ,又平面平面,平面,同理可得平面,在平面内,过作 以为原点,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则,3分,设,则, 恒成立,所以无论在的何处,都有,6分(2)由(1)知平面的法向量为= ,设平面的法向量为, 则,即,令,则,10分, ,所以二面角的平面角的余弦值为, 12分20. 如图,O的半径为6,线段AB与相交于点C、D,AC=4,BOD=A,OB与O相交于点(1)求BD长;(2)当CEOD时,求证:AO=AD参考答案:【考点】相似三角形的判定【专题】推理和证明【分析】(1)证明OBDAOC,通过比例关系求出BD即可(2)通过三角形的两角和,求解角即可【解答】解:(1)OC=OD,OCD=ODC,OAC=ODBBOD=A,OBDAOC,OC=OD=6,AC=4,BD=9(2)证明:OC=OE,CEODCOD=BOD=AAOD=180AODC=180CODOCD=ADOAD=AO 【点评】本题考查三角形相似,角的求法,考查推理与证明,距离的求法21. 在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为,曲线C的极坐标方程为,(I)设t为参数,若,求直线l的参数方程;()已知直线l与曲线C交于P,Q设,且,求实数a的值.参考答案:()直线的极坐标方程为即,因为为参数,若,代入上式得,所以直线的参数方程为(为参数)()由,得,由,代入,得 将直线的参数方程与的直角坐标方程联立,得.(*)则且,设点,分别对应参数,恰为上述方程的根.则,由题设得.则有,得或.因为,所以22. 已知等比数列的各项均为正数,且,数列的前项和为()求;()求数列bn的前n项和参考答案:解:()设等比数列的公比即, 解得:或 .3分又的各项为正,故 .6分()法一:设,数列前n项和为.由解得.
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