福建省福州市福清祖钦中学2020-2021学年高三数学文期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数的图像关于点对称，且存在反函数,若，则（）A0B4CD参考答案：C试题分析：根据题意可知点在函数的图像上，结合着图像的对称性，可知点在函数的图像上，所以有，所以有，故选C.考点：函数的图像的对称性，反函数.2. 在平面直角坐标系xOy中，已知四边形 ABCD是平行四边形， =（1，2），=（2，1）则?=（）A5B4C3D2参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算【分析】由向量加法的平行四边形法则可求=的坐标，然后代入向量数量积的坐标表示可求【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可得， =（3，1）=32+（1）1=5故选：A3. 定义一种运算，若，当有5个不同的零点时，则实数的取值范围是（ ）A B C D参考答案：B4. 变量x，y满足约束条件则目标函数的取值范围是（ ） A. 1,8 B. 3,8 C1,3 D. 1,6 参考答案：A5. 若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 （ ）A. B. C. D. 参考答案：A解析：，所以6. 某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为A.18 B.24 C.30 D.36参考答案：C略7. 已知偶函数f(x)在0,+)单调递增，若,则满足的x的取值范围是（ ）A.(,1)(3,+) B. (,13,+) C. 1,3 D. (,22,+)参考答案：B8. 已知函数满足条件：且（其中为正数），则函数的解析式可以是（ ）A B C D 参考答案：9. 平面向量与的夹角为60，则（A） （B） （C）4 （D）12参考答案：10. 函数的零点一定位于区间（ ）A B C D参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为 参考答案：4【考点】简单线性规划【专题】数形结合；综合法；不等式【分析】先画出满足条件的平面区域，求出A的坐标，结合图象求出z的最大值即可【解答】解：画出满足约束条件的平面区域，如图示：由，解得A（1，1）而z=x+3y可化为y=x+，由图象得直线过A（1，1）时z最大，z的最大值是4，故答案为：4【点评】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档题12. 已知实数x、y满足，则目标函数的最小值为_参考答案：3满足条件的点的可行域如下：由图可知，目标函数在点处取到最小值-313. 已知不等式,若对任意且,该不等式恒成立, 则实数的取值范围是_.参考答案：14. 对于三次函数的导数，的导数，若方程有实数解为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心给定函数，请你根据上面探究结果，解答以下问题： （1）函数的对称中心为 ； （2）计算= 。参考答案：15. 设x，y满足的约束条件，则z=x+2y的最大值为参考答案：7【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大由，得，即B（3，2），此时z的最大值为z=1+23=1+6=7，故答案为：7【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法16. 已知集合A=且，则实数的取值范围是 参考答案：17. 在平面直角坐标系中，若点，同时满足：点，都在函数图象上；点，关于原点对称，则称点对(,)是函数的一个“姐妹点对”（规定点对(,)与点对(,)是同一个“姐妹点对”）当函数有“姐妹点对”时，的取值范围是_ _参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在数列中，已知，（1）求证：数列为等比数列；（2）记，且数列的前项和为,若为数列中的最小项，求的取值范围参考答案：（1）详见解析（2）试题解析：解（1）, 又，,故， 是以为首项，公比为的等比数列 4分 （2）由（1）知道，. 6分. 8分若为数列中的最小项，则对有恒成立即对恒成立 10分当时，有；当时,有； 12分当时，恒成立,对恒成立.令，则对恒成立,在时为单调递增数列.，即. 15分综上，. 16分考点：等比数列定义，等比数列通项与求和，不等式恒成立【方法点睛】证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.等比数列的判定方法 19. （本题满分12分）如图所示，三棱锥中，,两两垂直，,，点为中点.（）若过点的平面与平面平行，分别与棱,相交于，在图中画出该截面多边形，并说明点的位置（不要求证明）；（）求点到平面的距离. 参考答案：见解析考点：立体几何综合（）当为棱中点，为棱中点时，平面平面（）因为，所以直线平面，又所以，设点是的中点，连接，则，所以，又，而，设点到平面的距离为，则有，即，即点到平面的距离为20. （12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（ab）（sinAsinB）=csinCasinB（1）求角C的大小；（2）若c=，ab，且ABC的面积为，求的值参考答案：考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用专题：解三角形分析：（1）ABC中，由条件利用正弦定理求得 a2+b2c2=ab再利用余弦定理求得cosC的值，可得C的值（2）由（1）可得即 a2+b2ab=7 ，又ABC的面积为=，可得ab=6 由可得的值解答：解：（1）ABC中，由（ab）（sinAsinB）csinCasinB，利用正弦定理可得（ab）（ab）=c2ab，即 a2+b2c2=ab再利用余弦定理可得，cosC=，C=（2）由（1）可得即 a2+b2ab=7 ，又ABC的面积为 =，ab=6 由可得 =点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题21. （本题满分12分）在ABC的三个内角A、B、C所对的边分别a、b、c，设函数 （1）求角C的大小； （2）求函数的单调递增区间 参考答案：解 = 22. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM平面ABCD，P为DN的中点（）求证：BDMC；（）在线段AB是否存在点E，使得AP平面NEC，若存在，说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由参考答案：考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（）易得BDAC，MA平面ABCD，进而可得MABD，结合ACMA=A，由线面垂直的判定可得BD平面AMC，进而可得结论；（2）当E为线段AB中点时，会使AP平面NEC，取NC中点F，可证四边形AEPF为平行四边形，可得APEF，由线面垂直的判定可得结论解答：解：（）因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC，又ADNM是矩形，平面ADNM平面ABCD，所以MA平面ABCD，所以MABD，又因为ACMA=A，由线面垂直的判定可得BD平面AMC又因为AC?平面AMC，所以BDMC；（2）当E为线段AB中点时，会使AP平面NEC，下面证明：取NC中点F，连接EF，PF，可得AECD，且AE=CD，由三角形的中位线可知，PFCD，且PF=CD，故可得AEPF，且AE=PF，即四边形AEPF为平行四边形，故可得APEF，又AP?平面NEC，EF?平面NEC，所以AP平面NEC，故当E为线段AB中点时，会使AP平面NEC点评：本题考查直线与平面平行的判定，以及直线与直线垂直的证明，属中档题