浅谈数学归纳法的认识及应用【摘 要】 数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的 学习有着很大的帮助，而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法。本 文通过一些具有代表性的典型例题重点讨论数学归纳法的应用。要熟练的应川数 学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练的掌握解题步骤，而在三个步骤 中运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。最后我们在通过用 数学归纳法证明命题的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳猜想证 明”这一探索发现的思维方法。【关键词】 归纳法猜想证明方法(-)数学归纳法的概述归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全 归纳推理与不完金归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中 的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种 推理方法，在高中数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考 察了一类事物的全部对象后归纳得出结论來。1例如：大球中装有若干个小球，以下是试验过程和推理，其结论是否 止确？试验7(1)从大球中取出5个小球，发现全是红色的。推理大球中装的全是红球判断t考察部分对象，得到一般结论的方法，叫做不完全归纳法。不完全归纳法得到的结论不一定正确。试验(2)从大球中取出所有的小球，发现全是红色的。推理大球中装的全是红球判断7考察全部对象，得到一般结论的方法， 叫做完全归纳法。完全归纳法一定是正确！ 数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一 种推理方法，在解高中数学题中有着广泛的应用。它是一个递推 的数学论证方法。用数学归纳法证明命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n。结论正确；假设当n=k (keN,且k$n。)吋，结论正确，证明当n二k+1时结论也正确。由(1)、(2)可知，命题对从n。开始的所有正整数n都正确。这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊 推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。由这 两步可以看出，高中数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。运用高中数学归纳法证明问题时，关键是n = k+l时命题成立的 推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行 分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现 口标完成解题。1运用数学归纳法，可以证明下列问题：等式、整除问题、儿何问题、与数列有关的问题、不等式等等。(-)数学归纳法的应用1、证明等式例1求证:1111n+ += 2X4 4X66X82n(2n+2)4(n +1)证明当门=1时,等蛀边二舟詁，等式右边=梢亍!等式成立.假设n=k吋等式成立即+=成立2X44X66X82k(2k + 2)4(k +1)那么n = k+1吋1 1 1 1 1 + += 2X44X66X82k(2k + 2)2(k + l)2(k+1) + 2k1=+4(k + 1)4(k + l)(k + 2)k(k + 2) + 14(k + l)(l+2)4(k+ 2) = 4K + 1 BPn=k + 1 时等式成立rfl可知，对任何nwN等式均成立.例2 求证:(n+1)(n+2)(n + n) =2门 1 3 5(2n-1)(neN)证明 当n = 1时等式左边=2,等式右边=2X1 =2 /.等式成立 假设n=k(hwN)等式成立即(k+1)(k+2)-(k+k)=2k 1 3 - 5(2kT)成立那么n=k+1时(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)=2(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)=2k+1 1 3 - 5-(2k-1)2(k+1)-1即 n = k+1 时等式成立 rtl可知对任何nwN等式均成立.说明 由k过渡到k+1时，等式左边增加的因式是(2k+1)(2k+2)且减少一个因式(k+1),故在假设基础上两边同乘以2(2k+1) 例3是否存在常数a、b、c使得等式1 22 + 2 32 + +n(n+l)2 =以；严(an? +bn + c)成立解 假设存在a、b、c使题设等式成立，这时令n = 1 得：4 = 2 + b + c)6令n = 2 得：22 = (4a+ 2b + c)令 n=3得：70=9a+3b+c由 + b + c = 24联立4 4a+ 2b + c = 449a+ 3b + c = 70解 Z a=3 b=11 c=1O于是当n = 1, 2, 3时2? +2 3? + +n(n + l)2 =|(3n2+lln + 10)记 Sn = 1 22+2 32+ + n(n + 1)2假定n = k时上式成立，BPSk=|(3k2+llk + 10)那么当n=k+1时Sk+尸 Sk+(k+1)(k+2)2k(k+l)ii-(3k2 +llk + 10) + (k + l)(k + 2)2=弩I (k + 2)(3k + 为 + (k + l)(k + 2)2k(k + l)(k + 2)12(31? + 5k + 12k+ 24)k(k + l)(k + l + l)123(k + l)2 +ll(k + l) + 10也就是说等式对n=k+1也成立.综上所述，当a=3, b=11, C=10时，题设的等式对一切自然数 n成立32、证明整除问题例4用数学归纳法证明：n3+5n(neZ)能被6整除。证明当n=1吋，n3+5n=6能被6整除。假设当n=k(heN)时结论正确，即k3+5k(keN)能被6整除 那 么(k+1)3+5(k+1)=(k3+5k)+3(k2+k+2)VkeN时，k2+k+2是偶数3(k2+k+2)能被6整除，于是(k2+5k)+3(k2+k+2)能被6整除。市、 可知，对任何nwN结论正确。3例5求证an+1 + (a+1)2nd能被a2+a+1整除(其中a0,且 a1)o证明 当 n=1 时,an+1 + (a+1)2n_1=a2+a+1 能被 a2+a+1 整 除，即n=1吋，命题成立。假设n=k时，ak+1 + (a+1)2k1被a2+a+1整除,那么当n=k+1 时，ak+2+(a+1)2k+1=a ak+1 + (a+1)2(a+1)2k_1=a ak+1 + (a+1)2k_1 + (a+1 )2(a+1 )2k_1-a(a+1 )2k_1=aak+1+(a+1 )2M+(a2+a+ 1)(a+1 )2kd由归纳假设知，ak+1 + (a+1产1能被a2+a+1整除。故 ak+2+(a+1)2k+1 能被 a2+a+1 整除。当n=k+1时，ak+2+(a+1)2k+1能被a2+a+1整除。由、可知，命题对任nwN均成立。说明本题由P(k) = P(k+ 1)的过程，着眼点是：一凑假设，二凑结论。33、证明几何问题用数学归纳法证明与自然数n有关的几何命题，rti k过渡到k+1 常利用几何图形来分析图形前后演变情况.例6有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不 相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n) = n2-n+2个部分.证明当n = 1吋，即一个圆把平面分成二个部分f(1)=2又n = 1时，&-n+2=2, :命题成立假设n=k时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2 个部分，那么设笫k+1个圆记OO,由题意，它与k个圆中每个圆交 于两点，又无三圆交于同一点,于是它与其它k个圆相交于2k个点 把 OO分成2k条弧而每条弧把原区域分成2块，因此这平面的总区域增 加2k 块,即 f(k+1)=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2即n = k+1时命题成立.由可知对任何nwN命题均成立.说明 本题如何应用归纳假设及已知条件，其关键是分析k增加“1”时，研究第k+1个圆与其它k个圆的交点个数问题3例&如下图，设Pi，P2, P3,，几，是曲线尸仮上的点列, 0，02，03,，Q”是兀轴正半轴上的点列，HA0Q戸, Q1Q2P2, ； G-都是正三角形，设它们的边长为。1，如,an, , 求证：+。2+给=一（斤+1）证明：（1）当”=1时，点Pi是直线y=/ix与曲线尸攸的交点, 可求出凡（丄,遇）.33:.ax=OPx=.而丄 X1X2=-,命题成立.333（2）假设心k （RUN*）时命题成立，即。+。2+以=丄 （+1）, 则点的坐标为（学（k+l）, 0）,直线。几+1的方程为y=V3 xk （+1）.代入y=yx ,解得 Pm点的坐标为（号亡，伙+ 1）. 。+。2+八+以+。+i=比(Zc+1) +(R+l) =(R+l)(k+2) :当n=k+吋，命题成立.rh （ 1）（2） 口J知，命题对所有正整数都成立.评述：本题的关键是求出P如的纵处标，再根据正三角形高与边的关系求出1。儿+1144、证明与数列有关的问题93an=Sn+ + 2(h 2)计算S“ S2, S3, S4猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证 解当时，b = -Sz =Sn+ 2 sn = 1(n2)则有：Sj = ax =-1314s4 =由此猜想：sn = S3 + 20n + 2用数学归纳法证明：2当n = l时，ST = - = ap成立一k +1设n = k(k N)猜想成立即$ = -严成立 K1乙那么i = k + l时,k + 1W2k + 2_ (k + l) + lk(k + l) + 2即n=k+1时猜丰收成立由可知，对任意口然数n,猜想结论均成立.说明 数学归纳法的实质：“先归纳，后演绎”即先以特殊情 况下的结论为基础，提出归纳假设，再从归纳假设通过渲绎推理证明结论的正确性3例 8数列 a中有 ax = a2 =1 , an+l = an_ 4- an （n2）,请你证明: %=当（1咅）（上1门（这个数列叫做斐波那契数列，它的前12项 是 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144)证明：当心时，写碍一呼宀=.T成立(2)假设n = kWn = k + 时,T(k), T(k + 1)都成立/-(即妒（三仰_（三纽且严（三5严-（上咅严乙厶J乙厶代严+讣铢呼）J耳知+（呼）7呼心乎（占）冲“+乎2jt+2 /I V5 +27丁)_V5f 1 + a/5a, 6 + 2亦6-2氐 二gK丁厂_(丁).卩伙+ 2）也成立.由可知：对一切正整数，色二（1咅）-（上