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精选优质文档-倾情为你奉上2020届全国大联考高三第四次联考数学(理)试题一、单选题1已知集合,则( )ABCD【答案】B【解析】分别求解集合再求并集即可.【详解】因为,所以.故选:B【点睛】本题考查集合的运算与二次不等式的求解以及指数函数的值域等.属于基础题.2若直线与圆相交所得弦长为,则( )A1B2CD3【答案】A【解析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.【详解】圆的标准方程,圆心坐标为,半径为,因为直线与圆相交所得弦长为,所以直线过圆心,得,即.故选:A【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.3抛物线的准线方程是,则实数( )ABCD【答案】C【解析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可.【详解】因为准线方程为,所以抛物线方程为,所以,即.故选:C【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.4已知,则p是q的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据诱导公式化简再分析即可.【详解】因为,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分条件.故选:B【点睛】本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.5一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合,如果圆锥的表面积与半球的表面积相等,那么这个圆锥轴截面底角的大小是( )ABCD【答案】D【解析】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得即可得圆锥轴截面底角的大小.【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有,解得,所以圆锥轴截面底角的余弦值是,底角大小为.故选:D【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.6已知F是双曲线(k为常数)的一个焦点,则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为( )A2kB4kC4D2【答案】D【解析】分析可得,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可.【详解】当时,等式不是双曲线的方程;当时,可化为,可得虚半轴长,所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为2.故选:D【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.7关于函数在区间的单调性,下列叙述正确的是( )A单调递增B单调递减C先递减后递增D先递增后递减【答案】C【解析】先用诱导公式得,再根据函数图像平移的方法求解即可.【详解】函数的图象可由向左平移个单位得到,如图所示,在上先递减后递增.故选:C【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.8在棱长为a的正方体中,E、F、M分别是AB、AD、的中点,又P、Q分别在线段、上,且,设平面平面,则下列结论中不成立的是( )A平面BC当时,平面D当m变化时,直线l的位置不变【答案】C【解析】根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可.【详解】因为,所以,因为E、F分别是AB、AD的中点,所以,所以,因为面面,所以.选项A、D显然成立;因为,平面,所以平面,因为平面,所以,所以B项成立;易知平面MEF,平面MPQ,而直线与不垂直,所以C项不成立.故选:C【点睛】本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.9已知抛物线,F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦,若,则的面积为( )ABCD【答案】A【解析】根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.【详解】由题意可知抛物线方程为,设点点,则由抛物线定义知,则.由得,则.又MN为过焦点的弦,所以,则,所以.故选:A【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.10在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.若,的面积为,则( )A5BC4D16【答案】C【解析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得,再根据面积公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【详解】中,由正弦定理得,又,又,又,.,由余弦定理可得,可得.故选:C【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.11存在点在椭圆上,且点M在第一象限,使得过点M且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点,则椭圆离心率的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.【详解】因为过点M椭圆的切线方程为,所以切线的斜率为,由,解得,即,所以,所以.故选:D【点睛】本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.12已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上,其底面边长为4,、分别为侧棱,的中点.若在三棱锥内,且三棱锥的体积是三棱锥体积的4倍,则此外接球的体积与三棱锥体积的比值为( )ABCD【答案】D【解析】如图,平面截球所得截面的图形为圆面,计算,由勾股定理解得,此外接球的体积为,三棱锥体积为,得到答案.【详解】如图,平面截球所得截面的图形为圆面.正三棱锥中,过作底面的垂线,垂足为,与平面交点记为,连接、.依题意,所以,设球的半径为,在中,由勾股定理:,解得,此外接球的体积为,由于平面平面,所以平面,球心到平面的距离为,则,所以三棱锥体积为,所以此外接球的体积与三棱锥体积比值为.故选:D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题,三棱锥体积,球体积,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.二、填空题13若双曲线的两条渐近线斜率分别为,若,则该双曲线的离心率为_.【答案】2【解析】由题得,再根据求解即可.【详解】双曲线的两条渐近线为,可令,则,所以,解得.故答案为:2.【点睛】本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.14已知在等差数列中,前n项和为,则_.【答案】39【解析】设等差数列公差为d,首项为,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得即可.【详解】设等差数列公差为d,首项为,根据题意可得,解得,所以.故答案为:39【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前n项和的公式,属于基础题.15已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合,直线过抛物线的焦点与抛物线交于、两点和椭圆交于、两点,为抛物线准线上一动点,满足,当面积最大时,直线的方程为_.【答案】【解析】根据均值不等式得到,根据等号成立条件得到直线的倾斜角为,计算得到直线方程.【详解】由椭圆,可知,(当且仅当,等号成立),直线的倾斜角为,直线的方程为.故答案为:.【点睛】本题考查了抛物线,椭圆,直线的综合应用,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.16已知三棱锥,是边长为4的正三角形,分别是、的中点,为棱上一动点(点除外),若异面直线与所成的角为,且,则_.【答案】【解析】取的中点,连接,取的中点,连接,直线与所成的角为,计算,根据余弦定理计算得到答案。【详解】取的中点,连接,依题意可得,所以平面,所以,因为,分别、的中点,所以,因为,所以,所以平面,故,故,故两两垂直。取的中点,连接,因为,所以直线与所成的角为,设,则,所以,化简得,解得,即.故答案为:.【点睛】本题考查了根据异面直线夹角求长度,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题17在数列和等比数列中,.(1)求数列及的通项公式;(2)若,求数列的前n项和.【答案】(1),(2)【解析】(1)根据与可求得,再根据等比数列的基本量求解即可.(2)由(1)可得,再利用错位相减求和即可.【详解】解:(1)依题意,设数列的公比为q,由,可知,由,得,又,则,故,又由,得. (2)依题意.,则,-得,即,故.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题.18如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,底面ABCD是边长为2的菱形,点E,F分别为棱DC,BC的中点,点G是棱SC靠近点C的四等分点.求证:(1)直线平面EFG;(2)直线平面SDB.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1) 连接AC、BD交于点O,交EF于点H,连接GH,再证明即可.(2)证明与即可.【详解】(1)连接AC、BD交于点O,交EF于点H,连接GH,所以O为AC的中点,H为OC的中点,由E、F为DC、BC的中点,再由题意可得,所以在三角形CAS中,平面EFG,平面EFG,所以直线平面EFG. (2)在中,由余弦定理得,即,解得,由勾股定理逆定理可知,因为侧面底面ABCD,由面面垂直的性质定理可知平面ABCD,所以,因为底面ABCD是菱形,所以,因为,所以平面SDB.【点睛】本题考查线面平行与垂直的证明.需要根据题意利用等比例以及余弦定理勾股定理等证明.属于中档题.19设抛物线过点.(1)求抛物线C的方程;(2)F是抛物线C的焦点,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,若,求的值.【答案】(1)(2)【解析】(1)代入计算即可.(2) 设直线AB的方程为,再联立直线与抛物线的方程,消去可得的一元二次方程,再根据韦达定理与求解,进而利用弦长公式求解即可.【详解】解:(1)因为抛物线过点,所以,所以,抛物线的方程为 (2)由题意知直线AB的斜率存在,可设直线AB的方程为,.因为,所以,联立,化简得,所以,所以,解得,所以.【点睛】本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.20已知在四棱锥中,平面,在四边形中,为的中点,连接,为的中点,连接.(1)求证:.(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2)【解析】(1)连接,证明,得到面,得到证明.(2)以,所在直线分别为,轴建立空间直角坐标系,为平面的法向量,平面的一个法向量为,计算夹角得到答案.【详解】(1)连接,在四边形中,平面,面,面,又面,又在直角三角形中,为的中点,面,面,.(2)以,所在直线分别为,轴建立空间直角坐标系,设为平面的法向量,令,则,同理可得平面的一个法向量为.设向量与的所成的角为,由图形知,二面角为锐二面角,所以余弦值为.【点睛】本题考查了线线垂直,二面角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.21已知函数.(1)求的单调区间;(2)讨论零点的个数.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)求导后分析导函数的正负再判断单调性即可.(2) ,有零点等价于方程实数根,再换元将原方程转化为,再求导分析的图像数形结合求解即可.【详解】(1
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