. . 1 / 7 电磁感应中的动量守恒经典题1. 如以下图，两根足够长的平行金属导轨固定于同一水平面，导轨间的距离为L，导轨上平行放置两根导体棒ab 和 cd，构成矩形回路。已知两根导体棒的质量均为m 、电阻均为R，其它电阻忽略不计，整个导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，导体棒均可沿导轨无摩擦的滑行。开始时，导体棒cd 静止、 ab 有水平向右的初速度v0，两导体棒在运动中始终不接触。求：（1）开始时，导体棒ab 中电流的大小和方向；（2）从开始到导体棒cd 达到最大速度的过程中，矩形回路产生的焦耳热；（3）当 ab 棒速度变为43v0时， cd 棒加速度的大小。 解析 ： （12 分）（1）ab 棒产生的感应电动势0= BLvEab， （1 分）ab 棒中电流RBLvREIab2=2=0， （ 1 分）方向由ba （1 分）（2）当 ab 棒与 cd 棒速度相同时，cd 棒的速度最大，设最大速度为v由动量守恒定律mvmv2=0（1 分） 012vv（ 1 分）由能量守恒关系 Q 21mv2021（2m ）v2（1 分）Q 41mv20（1 分）（3）设 ab 棒的速度为034v时， cd 棒的速度为v由动量守恒定律：vmvmmv+43=00（1 分）041=vv。043=vBLEab；041=vBLEcd；I REEcdab2=RvvBL2)4143(00I RBLv40（2 分）cd 棒受力为2204B L vFIBLR（1 分） ；此时 cd 棒加速度为2204B L vFamRm（1 分）. . 2 / 7 bacdBR MNPQL I bacdBR MNPQ2. 如图，相距L 的光滑金属导轨，半径为R的 1/4 圆弧部分竖直放置、直的部分固定于水平地面，MNQP 围有方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场金属棒ab 和 cd 垂直导轨且接触良好，cd 静止在磁场中，ab 从圆弧导轨的顶端由静止释放，进入磁场后与cd 没有接触已知ab 的质量为m 、电阻为r ，cd 的质量为3m、电阻为 r金属导轨电阻不计，重力加速度为g（1）求： ab 到达圆弧底端时对轨道的压力大小（2）在图中标出ab 刚进入磁场时cd 棒中的电流方向（3）若 cd 离开磁场时的速度是此刻ab 速度的一半，求： cd 离开磁场瞬间，ab 受到的安培力大小 解析 ：（1）设 ab 到达圆弧底端时受到的支持力大小为N，ab 下滑机械能守恒，有：221mvmgR由牛顿第二定律：RmvmgN2；联立得：mgN3由牛顿第三定律知：对轨道压力大小为mgN3（2）如图（ 2 分） （如用文字表达，正确的照样给分。如：d 到 c，或 dc）（3）设 cd 离开磁场时ab 在磁场中的速度vab，则 cd 此时的速度为abv21，ab、cd 组成的系统动量守恒，有：ababvmvmmv213ab、cd 构成的闭合回路：由法拉第电磁感应定律：abBLvE闭合电路欧姆定律：rEI2安培力公式：BILFab联立得rgRLBFab52223. （20 分）如以下图，电阻均为R的金属棒ab，a 棒的质量为m ， b棒的质量为M ，放在如以下图光滑的轨道的水平部分，水平部分有如以下图竖直向下的匀强磁场，圆弧部分无磁场，且轨道足够长；开始给a 棒一水平向左的的初速度v0，金属棒ab 与轨道始终接触良好且a 棒与 b 棒始终不相碰。请问：（1）当 ab 在水平部分稳定后，速度分别为多少？损失的机械能多少？（2）设 b 棒在水平部分稳定后，冲上圆弧轨道，返回到水平轨道前，a 棒已静止在水平轨道上，且b 棒与 a 棒不相碰，然后达到新的稳定状态，最后a，b 的末速度为多少？（3）整个过程中产生的能是多少? 解析 （1）对 ab 棒水平轨道分析，动量守恒；1v是稳定时 ab 棒共同速度. . 3 / 7 10)(vMmmv-3 分，解得)(01Mmmvv-1 分，损失的机械能为2120)(2121vMmmvE)(220mMMmv-4 分（2）由于 b 棒在冲上又返回过程中, 机械能守恒 , 返回时速度大小不变12vv-2 分b 棒与 a 棒向右运动过程中，直到稳定，动量守恒：32)(vmMMv-3 分达到新的稳定状态a， b 的末速度 :203)(mMMmvv-2 分（3）整个过程中产生的能等于系统机械能的减少量2320)(2121vmMmvQ-3分解得：)(1(213220mMmMmvQ-2 分4.(18分) 如以下图，电阻不计的两光滑金属导轨相距L，放在水平绝缘桌面上，半径为R的 1/4 圆弧部分处在竖直平面，水平直导轨部分处在磁感应强度为B，方向竖直向下的匀强磁场中，末端与桌面边缘平齐。两金属棒ab、cd 垂直于两导轨且与导轨接触良好。棒ab 质量为 2 m，电阻为r ，棒 cd 的质量为m ，电阻为r 。重力加速度为 g。开始棒cd 静止在水平直导轨上，棒ab 从圆弧顶端无初速度释放，进入水平直导轨后与棒cd 始终没有接触并一直向右运动，最后两棒都离开导轨落到地面上。棒 ab 与棒 cd 落地点到桌面边缘的水平距离之比为3: 1。求：（1）棒 ab 和棒 cd 离开导轨时的速度大小；（2）棒 cd 在水平导轨上的最大加速度；（3）两棒在导轨上运动过程中产生的焦耳热。 解析 ：（1）设 ab 棒进入水平导轨的速度为1v，ab 棒从圆弧导轨滑下机械能守恒：212212mvmgR（ 2 分）离开导轨时，设ab 棒的速度为/1v，cd 棒的速度为/2v，ab 棒与 cd 棒在水平导轨上运动，动量守恒，/2/1122mvmvmv （ 2 分）依题意/1v/2v，两棒离开导轨做平抛运动的时间相等，由平抛运动水平位移vtx可知B a b c d R . . 4 / 7 /1v:/2v=x1:x2=3:1 （ 2 分） ，联立解得gRv276/1，gRv272/2（ 2 分）（2）ab 棒刚进入水平导轨时，cd 棒受到的安培力最大，此时它的加速度最大，设此时回路的感应电动势为，BLv（ 1 分） ，rI2 （ 1 分）cd 棒受到的安培力为：BILFcd（ 1 分）根据牛顿第二定律，cd 棒的最大加速度为：mFacd（ 1 分）联立解得：mrgRLBa2222（ 2 分）（3）根据能量守恒，两棒在轨道上运动过程产生的焦耳热为：)21221(2212/22/121mvmvmvQ（ 2 分）联立并代入/1v和/2v解得：mgRQ4922（ 2 分）5 （20 分）如以下图，宽度为L 的平行光滑的金属轨道，左端为半径为r1的四分之一圆弧轨道，右端为半径为r2的半圆轨道，中部为与它们相切的水平轨道。水平轨道所在的区域有磁感应强度为B的竖直向上的匀强磁场。一根质量为m的金属杆a 置于水平轨道上，另一根质量为M的金属杆b 由静止开始自左端轨道最高点滑下，当 b滑入水平轨道某位置时，a 就滑上了右端半圆轨道最高点(b 始终运动且a、b 未相撞），并且 a 在最高点对轨道的压力大小为mg，此过程过a 的电荷量为q，a、b 棒的电阻分别为R1、R2，其余部分电阻不计。在b 由静止释放到 a 运动到右端半圆轨道最高点过程中，求：（1）在水平轨道上运动时b 的最大加速度是多大？（2）自 b 释放到 a 到达右端半圆轨道最高点过程中系统产生的焦耳热是多少？（3）a 刚到达右端半圆轨道最低点时b 的速度是多大？解析：（20 分）（1）由机械能守恒定律：12121MgrMvb112grvb-4 分 b刚滑到水平轨道时加速度最大，E=BLvb1，21RREI，由牛顿第二定律有：F安=BIL=Ma )(221122RRMgrLBa-4 分r1 bar2 B. . 5 / 7 M N P B B a b C II I （2）由动量定理有： -BILt=Mvb2Mvb1， 即： -BLq=Mvb2Mvb1 MBLqgrvb122根据牛顿第三定律得：N=N?=mg ，221rvmNmga212grvaQrmgmvMvMgrab22122122121MqLBmgrBLqgrQ23222221-6 分（3）能量守恒有2122221212aamvmvmgr226grva 3 分动量守恒定律231abbmvMvMv21362grMmgrvb3 分6两足够长且不计其电阻的光滑金属轨道，如以下图放置，间距为d=100cm ，在左端斜轨道部分高h=1.25m 处放置一金属杆a，斜轨道与平直轨道以光滑圆弧连接，在平直轨道右端放置另一金属杆b，杆 Ab 电阻 Ra=2，Rb=5，在平直轨道区域有竖直向上的匀强磁场，磁感强度B=2T。现杆 b 以初速度v0=5m/s 开始向左滑动，同时由静止释放杆a，杆 a 滑到水平轨道过程中，通过杆b 的平均电流为0.3A ；a 下滑到水平轨道后，以a 下滑到水平轨道时开始计时，Ab 运动图象如以下图(a 运动方向为正) ，其中 ma=2kg，mb=1kg，g=10m/s2，求（1）杆 a 落到水平轨道瞬间杆a 的速度 v；（2）杆 a 在斜轨道上运动的时间；（3）在整个运动过程中杆b 产生的焦耳热。 解析 ：（1）25m/svgh，（2）b 棒，20vmtIBdb，得5ts（3）共产生的焦耳热为22011161()226ababQm ghmvmmvJB棒中产生的焦耳热为5115J19J256QQ7. （12 分）如以下图，两根间距为L 的金属导轨MN和 PQ ，电阻不计，左端向上弯曲，其余水平，水平导轨左端有宽度为d、方向竖直向上的匀强磁场I ，右端有另一磁场II ，其宽度也为d，但方向竖直向下，磁场的磁感强度大小均为B。有两根质量均为m 、电阻均为R的金属棒a 和 b 与导轨垂直放置，b 棒置于磁场II中点 C、D处，导轨除C、D两处（对应的距离极短）外其余均光滑，两处对棒可产生总的最大静摩擦力为棒重力的K倍，a 棒从弯曲导轨某处由静止释放。当只有一根棒作切割磁感线运动时，它速度的减小量与它在磁场过的距离成正比，即vx。求：（1）若 a 棒释放的高度大于h0，则 a 棒进入磁场I 时会使 b 棒运动，判断b 棒的运动方向并求出h0为多少？（2）若将a 棒从高度小于h0的某处释放，使其以速度v0进入磁场I，结果a 棒以02v的速度从磁场I 中穿出，求在 a 棒穿过磁场I 过程过 b 棒的电量q 和两棒即将相碰时b 棒上的电功率Pb为多少？. . 6 / 7 解析 （12 分） ：（1）根据左手定则判断知b 棒向左运动。 （2 分）a 棒从 h0高处释放后在弯曲导轨上滑动时机械能守恒，有2012mghmv得：02vgh（1 分）a 棒刚进入磁场I 时EBLv , 此时感应电流大小2EIR此时 b 棒受到的安培力大小FBIL，依题意，有FKmg, 求得：2220442K m gRhB L（3 分）（2）由于 a 棒从小于进入h0释放，因此b 棒在两棒相碰前将保持静止。流过电阻R的电量 qIt；又因：EB SIRRtRt总总总所以在 a 棒穿过磁场I 的过程中，通过电阻R的电量：, 故：2B SBLdqRR总（3 分） （没有推导过程得1 分）将要相碰时a 棒的速度00002224vvvvdvd（1 分）此时电流：028BLvBLvIRR（1 分） ，此时 b 棒电功率：2222064bB L vPI RR8（ 2014 届海淀期末10 分）如图21 所示，两根金属平行导轨MN和 PQ放在水平面上，左端向上弯曲且光滑，导轨间距为L，电阻不计。水平段导轨所处空间有两个有界匀强磁场，相距一段距离不重叠，磁场左边界在水平段导轨的最左端，磁感强度大小为B ，方向竖直向上；磁场的磁感应强度大小为2B，方向竖直向下。质量均为 m 、电阻均为R的金属棒a 和 b 垂直导轨放置在其上，金属棒b置于磁场的右边界CD处。现将金属棒a从弯曲导轨上某一高处由静止释放，使其沿导轨运动。设两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。（1）若水平段导轨粗糙，两金属棒与水平段导轨间的最大摩擦力均为51mg，将金属棒a 从距