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教学案例多边形的内角和(第二课时)知识技能:了解多边形的内角和与外角和公式,并能进行简单的应用。过程方法: 通过对简单多边形的内角和的探究,发现规律,归纳出n边形的内角和公式; 通过对多边形多种转化形式的探究,体验解决问题时策略的多样性 ,培养实践能力与创新能力。培养、锻炼学生与他人合作交流的能力。 情感态度价值观: 学生通过类比、联想、转化、推理等探究活动,体验成功的快乐,感受数学研究的乐趣。重点:多边形的内角和公式的探究。难点:如何把多边形转化成三角形来探索多边形的内角和。教学方法:互动式探究模式、启发式、发现式教学法教学工具:多媒体课件、三角板(课堂实录式教案)师:上课! 生:老师好!师:同学们好! 师:上节课我们学习了多边形的有关概念,这节课我们来研究多边形的内角和。首先回忆一下三角形的内角和。生:三角形的内角和是.师:正方形内角和是多少?生:。师:对,那一般四边形的内角和呢?生:。师:怎么得到的?生:作一条对角线,把四边形分成两个三角形,四边形的内角和正好是两个三角形的内角的和。探究1:师:那用同样方法能求出五边形、六边形的内角和吗? 生(活动):独立思考后,交流讨论,找同学板演分割方法,并分别讲解思路。师:请同学A说说你的思路。生A:作五边形的对角线,将其分成三个三角形,因而内角和。师:正确,那谁来说说如何得到六边形的内角和呢?生B:作六边形的对角线,将其分成四个三角形,因而内角和。师:有些同学连的辅助线没有过同一顶点,所分出来的三角形个数一样吗?生:一样。,师:那你们观察比较一下,哪一种图形所体现的规律性更明显呢?生:对角线过同一顶点的图形。探究2:师:那由此你们能猜出n边形的内角和吗? 为了便于观察,我们一起来把刚才得到的结果总结在一个表格里:多边形的边数456n过一个顶点的对角线的条数1所分成的三角形的个数2内角和生(活动):口答结果,并观察找出规律:n边形的内角和是。师(板书): n边形的内角和是。 生(活动):在书上找到知识点1 n边形的内角和是。探究3:师:以上是通过作对角线将多边形分割成三角形来探究n边形的内角和的。是不是还有其它分割方法呢?请同学们动手试一试,看谁想的办法多。生:自主探究,小组讨论交流。并让找出不同分割方法的同学板演并讲解思路。师:好,这位同学已经想出办法了,就请你来说说你的想法。生甲:在多边形内部取一点与各顶点连线。师:把五边形分成了多少个三角形?生甲:5个。师:这5个三角形的内角和是不是正好是五边形的内角和呢?生甲:不是,多了一个周角。内角和是。 师:非常好!同样得到了五边形的内角和,那你能不能就此猜出n边形的内角和呢?生甲:能,在n边形的内部取一点与各顶点连线, 得到n个三角形,这n个三角形的内角和减去多出的一个周角,就得到了n边形的内角和。 师:非常好!还有别的方法吗?生乙:在五边形的一边上取一点与各顶点连线,将五边形分成四个三角形,四个三角形的内角和减去多出的一个平角,就得到五边形的内角和,。师:与前面的结果仍然一致。那能不能就此推出n边形的内角和呢?生乙:能。这样连线分割出的三角形个数比边数少1个,另外多出一个平角,所以多边形的内角和就是。师:很好,同样得到了n边形的内角和公式。刚才这两种方法都是从多边形内部分割的,如果我从多边形外部取一点与各顶点连线行吗?生:(试验、讨论、推导)生丙:能行。这样连线分割出的三角形个数可看成是“边数减1”个,再去掉多余的一个三角形的内角和,即,就得出五边形的内角和。师:对,这样也可以达到目的,那么你能根据上述分析概括出n边形的内角和的一般结论吗?生:能。这样连线分割出的三角形个数比边数少1个,去掉多余的一个三角形的内角和,所以n边形的内角和就是。师:非常好,同学们探究出了这么多方法,其实还有别的方法,有兴趣的同学下去可以继续研究。拓展应用1:师(总结提问):n边形的内角和是,知道它有什么用呢?生(思考后回答):可以求多边形的内角和。师:好,那么同学们能求出十边形的内角和吗?生(快速抢答): 。师:很好!那么反过来,如果知道某一多边形的内角和是,你能求出它的边数吗?生(快速抢答): 12边形!师:很好!请你说说你是怎么快速求出来的? 生:用除以得10,再加上2得12。师:很好!为什么可以除以呢?生:因为内角和是的整数倍。师:确切说是的正整数倍,是的“边数减2”倍。所以边数减2等于10 ,边数为12。师:那你们说某一多边形的内角和是,可能吗?生:不可能!它不是的整数倍。师:某一多边形的内角和加上某个角(小于)后度数为,那么这个角是多少度?它是几边形?生:这个角是度,它是12边形。师:怎么算出来的呢?生:用除以商是10余数是80。师:为什么会出现余数呢?生:因为多了一个角。师:把多出的角的度数去掉呢?生:就得到n边形的内角和了。师:那去掉的是多少度的角? 生:师:那么是几边形的内角和?生:12边形。师:那么增加的角度是多少度?生:师:非常好。下面思考一个证明题:例题1:如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系?(学生独立思考求解,板演、老师讲评。)解:如图,四边形ABCD中,因为,所以 即互补。所以,另一组对角也互补。(教师对板演过程中的不规范表述进行纠正、示范)探究4:师:多边形的内角和与它的应用我们已经研究了很多,那么它的外角和是多少呢?首先说一说三角形的外角和。生:三角形的外角和是。师:正方形、长方形的外角和呢?生:正方形、长方形的外角和也都是。师:那你能猜猜任意多边形的外角和是多少吗? 生:师:有什么办法能证明这个猜想呢?以五边形为例说明。生(思考后回答):根据每个外角与相邻的内角互为补角,可知外角和与内角和的总和是,减去内角和,结果为。师:非常好!那么用同样方法可知n边形的外角和与内角和的总和是,减去内角和,结果为。师(板书): n边形外角和为。生:在书上找到知识点2 n边形外角和为。师:现在我们来对比一下,多边形的内角和随边数的增加怎样变化?外角和呢?生:内角和变大,外角和不变。师:那么知道多边形的外角和能求边数吗?生:不能。师:为什么?生:外角和都一样。师:那要已知什么条件能求出多边形的边数呢?生:已知一个外角的度数。师:已知一个外角的度数就能求出任意一个多边形的边数吗?生:必须是正多边形。师:对!对于一个正多边形来说,已知它的外角的度数,才能求出它的边数。请看:例2:已知某正多边形的一个内角为,求它的边数。有几种解法?生(活动):独自解决后同桌交流。绝大多数先用外角和很快求得结果,再找出用内角和求解的方法。师:同学们算得很快,其中有一种办法是不特别快?谁来说一说?生M:每个外角=,所以n=6。师:非常好!谁来说一说另一种解法?生N:设边数为n,则=,得n=6。师:非常好!那么,比较一下哪一种方法更好呢?生:当然第一种!师:对,用外角和求正多边形的边数更快。在今后计算时可以适当选择简便的方法。拓展应用2:师:请同学们看一个有趣的问题:(1)小明在绕一个五边形的小道跑步。他每从一条小路转到下一条小路时,身体转过的角是哪个角?(2)他每跑完一圈,身体转过的角度之和是多少?生(出现争议):外角!内角!思考一会之后多数同意转过的角是外角。师:我们来试一试,跑一跑,看转过的究竟是哪个角。(情景再现)123541151314121生(齐声回答):转过的角是外角。师:跑一圈一共转几次呢?生:五次。师:这五次的度数和是多少?生:是360。师:对!每跑完一圈,身体转过的角度之和正好是五边形的外角和。师:这节课我们对多边形的内角和、外角和的进行了探究,下面来做一组习题检测一下今天的学习效果。课本83页练习1,84页2、3题。独立计算,并将结果写在书上。师(巡视):集体核对答案,强调关键步骤。拓展应用3:师:再看一个探索问题:“n角星”的“n个内角的和”的问题。师:先看“五角星”:利用五边形的外角等于不相邻的两个内角的和,可以把外角都转化到内角上去,请同学们观察一下,五边形的内角和、外角和与“五角星的五个内角的和”有什么数量关系呢? 生:五边形的内角和减去外角和就等于“五角星的五个内角的和”。师:那度数是多少呢?生:。师:很好,那么请同学们试着找出“六角星”、“七角星”的度数和分别是多少? 生:“六角星”、“七角星”的度数和分别是和。师:随着边数的增加“n角星”的度数和有什么变化呢?4123567123564 生:每增加一个角,“n角星”的度数和就增加。师:那么你能找出“n角星的n个内角的和”的度数和吗?它与多边形的边数有什么内在联系呢?有什么规律吗?生(活动):思考讨论,并探究出结果:n边形的内角和减去外角和就等于“n角星的n个内角的和”。师: 看,我们得到了一个重大发现: n角星”的n角和=下课后同学们也可以用其它方法验证一下这个结论。课堂小结:师:1 这节课主要探究学习了两个知识点:多边形的内角和与外角和公式。2 通过这节课的学习我们还要积累一些解题经验,想一想在哪些方面可以积累一些经验呢?首先,在探究时,多边形的问题可以怎样去解决呢?生:转化为三角形问题来解决。师:对,在探究n边形的内角和时就是把多边形问题转化为三角形问题来解决的。师:利用多边形的内角和公式可以解决什么问题?生:可以计算它的内角和及边数。师:利用多边形外角和可以解决什么问题?生:可以计算内角和及其边数。师:能吗?生: 正多边形的。师:对,忘了一个重要条件,已知一个角,利用外角和可以快速求得正多边形的角和边数。师:好,这节课我们就上到这里,对于还可以继续探究的内容希望有兴趣的同学课下再共同讨论一下。布置作业: 课本第84页第2、4、7题(上一版在第90页);思考题:某多边形的内角和减去某个角(小于)后度数为,求这个角的度数及多边形的边数。板书设计: 7.3.2多边形的内角和8- 8 -一、内容要点1多边形的内角和等于。 2、多边形的外角和等于。二、应用例1 如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系?(详细板书过程)探究1 图形探究2 图形 例2 已知某正多边形一个内角为 ,求它的边数。(简要板书过程)课后反思:本节课教学整体效果很好。该班级学生的程度较好,在探究中能够积极参与活动,思维活跃,想法新颖,使课堂教学充满活力。一系列的课堂练习设置充分调动了学生的参与热情,多数学生学习效果较好,达到了预期目的。个别学生课上有吃力的表现,尽管及时进行了帮助,课下还要及时进行进一步的关注。
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