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2020-2021学年黑龙江省伊春市宜春汪家中学高二数学文期末试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()A588B480C450D120参考答案:B【考点】频率分布直方图【分析】根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率,然后根据频数=频率总数可求出所求【解答】解:根据频率分布直方图,成绩不低于60(分)的频率为110(0.005+0.015)=0.8,可估计该该模块测试成绩不少于60分的学生人数为6000.8=480(人)故选:B2. 设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交于C于A,B两点,则|AB|=()AB6C12D7参考答案:C【考点】抛物线的简单性质【分析】求出焦点坐标,利用点斜式求出直线的方程,代入抛物线的方程,利用根与系数的关系,由弦长公式求得|AB|【解答】解:由y2=3x得其焦点F(,0),准线方程为x=则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30的直线方程为y=tan30(x)=(x)代入抛物线方程,消去y,得16x2168x+9=0设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1+x2=,所以|AB|=x1+x2+=+=12故选:C3. 直线的倾斜角是()A B C D参考答案:C4. 下列命题:命题“若,则”的逆否命题: “若,则”.命题 “”是“”的充分不必要条件.若为真命题,则,均为真命题.其中真命题的个数有A.4个 B.3个 C.2个 D.1个参考答案:B略5. 为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图,由于不慎将部分数据丢失,但知道后5组的频数成等比数列,设视力在4.6到之间的学生数为最大频率为,则a, b的值分别为A. 77, 0.53B. 70, 0.32 C. 77, 5.3D. 70, 3.2参考答案:B略6. 由,组成没有重复数字的三位数的个数为( )A. 36 B. 24 C. 12 D.6参考答案:B7. 某三棱锥的三视图如图所示,其正视图和侧视图都是直角三角形,则该三棱锥的体积等于()ABC1D3参考答案:C【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体的结构特征是什么,从而求出它的体积【解答】解:根据几何体的三视图,得;该几何体是底面为三角形,高为3的直三棱锥;且底面三角形的底边长为2,底边上的高是1;该三棱锥的体积为:V=213=1故选:C【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,也考查了体积计算公式的应用问题,是基础题目8. 已知函数f (x)=,若f (x)在(-, +)上是增函数,则实数a的取值范围是A、 B、a|a2 C、 D、a|a=2参考答案:A9. 已知双曲线x2=1的一条渐近线与椭圆+=1相交与点P,若|OP|=2,则椭圆离心率为( )A1BCD参考答案:A【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先根据双曲线x2=1得出它的一条渐近线方程为:y=x,其倾斜角为60,从而得到POx=60又|OP|=2,故可得P点的坐标,将P的坐标代入椭圆方程得a从而求出椭圆的离心率【解答】解:根据双曲线x2=1得出它的一条渐近线方程为:y=x,其倾斜角为60,设这条渐近线与椭圆+=1相交于点P,则POx=60且|OP|=2,故可得P点的坐标为(1,)代入椭圆方程得:=1,?a=+1或a=12(不合,舍去)椭圆+=1的a=+1,b2=2,c=2,则椭圆的离心率为e=1故选:A【点评】本小题主要考查椭圆的简单性质、双曲线的简单性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于基础题10. 已知等差数列中,前n项和为S,若+=6,则S11= A12 B33 C66 D99参考答案:B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知三棱锥的三个侧面两两垂直,三条侧棱长分别为4,4,7,若此三棱锥的各个顶点都在同一个球面上,则此球的表面积是_。 参考答案:略12. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为_.参考答案:4略13. 已知函数f(x)=ax+ax(a0,且a1),若f(1)=3,则f(2)=参考答案:7【考点】函数的值【分析】由f(1)=3得到a+a1=3,平方后整理即可得到f(2)的值【解答】解:由f(x)=ax+ax,且f(1)=3得,a+a1=3,所以a2+a2=(a+a1)22=92=7故答案为714. 某市有大型超市家、中型超市家、小型超市家. 为掌握各类超市的营业情况,现按分层抽样方法抽取一个容量为的样本,应抽取中型超市_家.参考答案:略15. 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有 。参考答案:60 16. 已知椭圆+=1的长轴在x轴上,若焦距为4,则m等于 参考答案:4【考点】椭圆的简单性质【分析】根据椭圆+=1的长轴在x轴上,焦距为4,可得10mm+2=4,即可求出m的值【解答】解:椭圆+=1的长轴在x轴上,焦距为4,10mm+2=4,解得m=4故答案为:417. 设直线l过点(1,0),斜率为,则l的一般方程是 .参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 如图,在直三棱柱中,是的中点()求证:平面; ()求二面角的余弦值;()试问线段上是否存在点,使与成 角?若存在,确定点位置,若不存在,说明理由 参考答案:()证明:连结,交于点,连结.由 是直三棱柱,得 四边形为矩形,为的中点.又为中点,所以为中位线,所以 , 因为 平面,平面, 所以 平面. 4分()解:由是直三棱柱,且,故两两垂直.如图建立空间直角坐标系. 设,则.所以 , 设平面的法向量为,则有所以 取,得. 易知平面的法向量为. 由二面角是锐角,得 . 8分所以二面角的余弦值为.()解:假设存在满足条件的点.因为在线段上,故可设,其中.所以 ,. 因为与成角,所以. 即,解得,舍去. 所以当点为线段中点时,与成角. 12分略19. 某种产品的广告费用支出 x (万元)与销售额 y (万元)之间有如下的对应数据:x24568y3040605070(1)求回归直线方程;(2)据此估计广告费用为 9 万元时,销售收入y 的值参考答案:(1) (2)76【分析】(1)利用最小二乘法求出性回归方程;(2)把所给的的值代入线性回归方程,求出的值,即得销售收入y 的值.【详解】(1),根据参考数据:,由线性回归方程系数公式,;回归直线方程为.(2)当时,预报的值为(万元)故销售收入为76万元.【点睛】本题考查线性回归方程的求法和应用,本题解题的关键是看出这组变量是线性相关的,进而正确运算求出线性回归方程的系数,本题是一个基础题20. 已知F1,F2为椭圆C: +=1(ab0)的左、右焦点,过椭圆右焦点F2斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于E、F两点,EFF1的周长为8,且椭圆C与圆x2+y2=3相切()求椭圆C的方程;()设A为椭圆的右顶点,直线AE,AF分别交直线x=4于点M,N,线段MN的中点为P,记直线PF2的斜率为k,求证k?k为定值参考答案:【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】()由已知条件推导出4a=8,方程组只有一组解,利用根的判别式求出=3,由此能求出椭圆C的方程()设过点F2(1,0)的直线l方程为:y=k(x1),设点E(x1,y1),点F(x2,y2),将直线l方程y=k(x1)代入椭圆C:,得:(4k2+3)x28k2x+4k212=0,由此利用已知条件推导出直线PF2的斜率为k=,从而能够证明k?k为定值【解答】()解:过椭圆右焦点F2斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于E、F两点,EFF1的周长为8,且椭圆C与圆x2+y2=3相切,4a=8,解得a=2,方程组只有一组解,即方程(b24)x2+124b2=0只有一个实数根,=04(b24)(124b2)=0,解得=3或b2=4(舍),椭圆C的方程为()证明:设过点F2(1,0)的直线l方程为:y=k(x1),设点E(x1,y1),点F(x2,y2)5分将直线l方程y=k(x1)代入椭圆C:,整理得:(4k2+3)x28k2x+4k212=0,6分点F2在椭圆内,直线l和椭圆都相交,0恒成立,且,7分直线AE的方程为:,直线AF的方程为:,令x=4,得点M(4,2),N(4, 2),点P的坐标(4,(),9分直线PF2的斜率为k=()=?=?,11分将,代入上式得:=,k?k为定值21. 已知A, B两地的距离是130 km,每辆汽车的通行费为50元.按交通法规规定, A, B两地之间的公路车速应限制在50100 km/h.假设汽油的价格是7元/L , 一辆汽车的耗油率(L/h)与车速的平方成正比,如果此车的速度是90 km/h,那么汽车的耗油率为22.5 L/h,司机每小时的工资是70元.从A地到B地最经济的车速是多少?如果不考虑其它费用,这次行车的总费用是多少(精确到1元)?参考答案:最经济的车速是60 km/h,此时的行车总费用
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