5.1向量的概念及线性运算【考纲目标】1理解平面向量的概念、两个向量相等的含义及向量的几何表示2掌握向量加法、减法及向量数乘的运算并理解其几何意义一、自主学习要点1.向量的有关概念(1)向量的定义：既有 又有 的量叫做向量(2)向量的长度：表示的 的长度，即的大小叫做的长度或称为的模， 的向量叫做零向量，记作0, 的向量，叫做单位向量(3)平行向量：方向或的向量叫做平行向量规定：0与任何向量平行，平行向量也叫做(4)相等向量：的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作ab.(5)相反向量：模相等方向相反的向量叫做相反向量要点2向量运算(1)加减法法则：(2)运算律：ab ，(ab)ca(bc)(3) ，0， ，An1An .|a|b|ab|.(4)实数与向量的积(数乘)定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a，a与a平行规定：_，当_0时，a的方向与a的方向 ；当_0时，a的方向与a的方向；当0时，a0.运算律：(a) ，()a ，(ab) .要点3. 向量共线的充要条件向量b与非零向量a共线的充要条件是_.二、合作，探究，展示，点评题型一 向量的基本概念例1判断下列各命题是否正确：(1)单位向量都相等；()(2)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关；()(3)若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；(4)若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；()(5)两向量a，b相等的充要条件是|a|b|且ab.()思考题1：判断下列命题是否正确，不正确的说明理由(1)若向量a与b同向，且|a|b|，则ab；(2)由于零向量方向不确定，故零向量不能与任意向量平行；(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；(4)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量题型二 向量的线性运算例2(1)如图所示，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么等于()A. B.C. D.(2)在ABC中，c，b，若点D满足2，则等于_(用向量b，c表示)思考题2：(1)已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足20，则等于()A2 B2C. D(2)设P是ABC所在平面内的一点，2，则()A.0 B.0C.0 D.0(3)已知D，E，F分别是ABC边BC，AC，AB的中点求证：0. 题型三 共线向量定理及应用例3设a，b是不共线的两个非零向量，(1)若2ab，3ab，a3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若8akb与ka2b共线，求实数k的值思考题3：(1)已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，D BA，B，CCB，C，D DA，C，D(2)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且ab与c共线，bc与a共线，那么abc等于()Aa BbCc D0例4设，不共线，求证：点P，A，B共线的充要条件是：且1，R.思考题4：(1)在ABC中，2，则_.(2)如图所示，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_三、知识小结1正确区别向量与数量确定向量需要同时确定其“大小”和“方向”，向量可以用有向线段表示数量的一些运算性质规律对于向量并不一定成立2注意0与数0的区别，00，零向量是有方向的，它的方向是任意的.0aa,0a0，00，aa0，注意数量积0a0，不能写成0a0.自助餐1下列命题中是真命题的是()对任意两向量a，b，均有：|a|b|a|b|；对任意两向量a，b，ab与ba是相反向量；在ABC中，0；在四边形ABCD中，()()0；.ABC. D2若a，b，ab为非零向量，且ab平分a与b的夹角，则()AabBabC|a|b| D以上都不对3如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则()A. B.C. D.4设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于()A. B2C3 D45如图所示，在ABC中，点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为_向量的概念及运算课时作业1对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要2设a是任一向量，e是单位向量，且ae，则下列表示形式中正确的是()Ae Ba|a|eCa|a|e Da|a|e3已知ABCD为平行四边形，若向量a，b，则向量为()Aab BabCb2a Dab4.如图所示，在正六边形ABCDEF中，()A0 B.C. D.5已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且，则()A点P在线段AB上B点P在线段AB的反向延长线上C点P在线段AB的延长线上D点P不在直线AB上6ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB.若a，b，|a|1，|b|2，则A.ab B.abC.ab D.ab()7已知向量i与j不共线，且imj，nij，若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是()Amn1 Bmn1Cmn1 Dmn18O是平面上一定点，A，B，C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足：()，(0，)，则直线AP一定通过ABC的()A外心 B内心C重心 D垂心9四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，则ABCD的形状是()A矩形 B平行四边形C梯形 D以上都不对10已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)的充要条件是()，则的取值范围是()A(0,1) B(1,0)C(0，) D(，0)11设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(R)，(R)，且2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是()AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上DC，D不可能同时在线段AB的延长线上12.如图所示，下列结论不正确的是_ab；ab；ab；ab.13.如图所示，已知B30，AOB90，点C在AB上，OCAB，用和来表示向量，则等于_14设a和b是两个不共线的向量，若2akb，ab，2ab，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于_15O为ABC内一点，且20，则AOC与ABC的面积之比是_16已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1，e2不共线，向量c2e19e2.问是否存在这样的实数，使向量dab与c共线？17如图所示，已知点G是ABO的重心(1)求；(2)若PQ过ABO的重心G，且a，b，ma，nb，求证：3.4