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2020北京数学高三一模19汇编 1、(2020北京朝阳一模)已知椭圆,圆(为坐标原点).过点且斜率为的直线与圆交于点,与椭圆的另一个交点的横坐标为.()求椭圆的方程和圆的方程;()过圆上的动点作两条互相垂直的直线,若直线的斜率为且与椭圆相切,试判断直线与椭圆的位置关系,并说明理由.2、(2020北京东城一模)已知椭圆,它的上,下顶点分别为,左,右焦点分别为,若四边形为正方形,且面积为.()求椭圆的标准方程; ()设存在斜率不为零且平行的两条直线,与椭圆分别交于点,且四边形是菱形,求出该菱形周长的最大值.3、(2020北京房山一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过A2,0,B(0,1)两点.(I)求椭圆C的方程和离心率的大小;(II)设M,N是y轴上不同的两点,若两点的纵坐标互为倒数,直线AM与椭圆C的另一个交点为P,直线AN与椭圆C的另一个交点为Q,判断直线PQ与x轴的位置关系,并证明你的结论。4、(2020北京丰台一模)已知函数.()若曲线在点处的切线斜率为1,求实数的值;()当时,求证:;()若函数在区间上存在极值点,求实数的取值范围.来源:Z|xx|k.Com5、(2020北京适应一模)已知函数,.()求曲线在点处的切线方程;()求函数的极小值;()求函数的零点个数.6、(2020北京自适应一模)已知函数,实数(1)讨论函数在区间上的单调性;(2)若存在,使得关于的不等式成立,求实数的取值范围7、(2020北京海淀一模)已知函数fx=ex+ax(I)当a=-1时,求曲线y=fx在点(0,f(0)处的切线方程;求函数fx的最小值;(II)求证:当a(-2,0)时,曲线y=fx与y=1-lnx有且只有一个交点。8、(2020北京密云一模)已知函数fx=exax+1,aR()求曲线y=fx在点M(0,f(0)处的切线方程;()求函数fx的单调区间;()判断函数fx的零点个数.9、(2020北京平谷一模)已知函数其中aR.(I)当a=0时,求f(x)在(1,f(1)的切线方程;(II)求证:f(x)的极大值恒大于0.10、(2020北京人大附一模)已知函数fx=12x2-alnxa0.()若a=2,求fx在(1,f(1)处的切线方程;()求fx在区间1,e上的最小值;(III)若fx在区间1,e上恰有两个零点,求a的取值范围.11、(2020北京15中一模)已知函数f(x)lnxax2+2ax()若a1,求曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;()若f(x)x恒成立,求实数a的取值范围12、(2020北京石景山一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(1,0),离心率为22.直线l过点F且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.()求椭圆C的方程;()证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;()延长线段OM与椭圆C交于点P,若四边形OAPB为平行四边形,求此时直线l的斜率13、(2020北京顺义一模)已知函数fx=ex-ax2,aR.(I)当a=1时,求曲线y=f(x)在点A(0,f(0)处的切线方程;(II)若f(x)在区间(0,+)上单调递增,求实数a的取值范围;(III)当a=-1时,试写出方程fx=1根的个数。(只需写出结论)14、(2020北京通州一模)已知椭圆C:的离心率为,点A(0,1)在椭圆C上()求椭圆 C的方程;()设O为原点,过原点的直线(不与x轴垂直)与椭圆C交于M、N两点,直线AM、AN与x轴分别交于点E、F问: y轴上是否存在定点G,使得OGE=OFG?若存在,求点G的坐标;若不存在,说明理由 15、(2020北京西城一模)设函数f(x)=alnx+x2-(a+2)x,其中aR.()若曲线y=f(x)在点(2,f(2)处切线的倾斜角为4,求a的值;()已知导函数f(x)在区间(1,e)上存在零点,证明:当x(1,e)时,f(x)-e2.16、(2020北京延庆一模)已知函数fx=2ax+a2-1x2+1,其中a0()当a=1时,求曲线y=f(x)在原点处的切线方程;()若函数f(x)在0,+)上存在最大值和最小值,求a的取值范围.来源:Zxxk.Com答案:1、解:()因为圆过点,所以圆的方程为:. 因为过点且斜率为的直线方程为,又因为过点,所以.因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为, 所以,解得.所以椭圆的方程为.()直线与椭圆相切.理由如下:设圆上动点,所以. 依题意,设直线:. 由得. 因为直线与椭圆相切,所以. 所以.所以. 因为,所以. 所以.设直线:,由得.则.所以直线与椭圆相切14分2、解:()因为 , 所以 .因为 四边形为正方形,且面积为,所以 ,.所以 ,.所以 椭圆. 4分()设平行直线,不妨设直线与交于,由,得,化简得:,其中 ,即.所以 ,由椭圆的对称性和菱形的中心对称性,可知,所以 ,所以 .所以 当且仅当时,的最大值为.此时 四边形周长最大值为. 14分3、解:()依题意得, 所以椭圆的方程为 ,离心率的大小 ()因为,是轴上不同的两点,两点的纵坐标互为倒数, 设,坐标为,则, 由,得直线的方程为 整理得 或得交点的纵坐标为 同理交点的纵坐标为 所以,直线与轴平行 解法二:设直线的方程为,直线的方程为 令得,坐标为,同理坐标为因为,是轴上不同的两点,两点的纵坐标互为倒数,所以 整理得或得交点的纵坐标为 同理得 所以,直线与轴平行. 解法三:设直线的方程为,直线的方程为令得坐标为,同理坐标为因为,是轴上不同的两点,两点的纵坐标互为倒数,所以 代入椭圆方程得或所以得交点的纵坐标为 同理得 所以,直线与轴平行.4、解:()因为,所以.由题知,解得.4分()当时,来源:Z&xx&k.Com所以.当时,在区间上单调递减;来源:学*科*网当时,在区间上单调递增;所以是在区间上的最小值.所以.8分()由()知,.若,则当时,在区间上单调递增,此时无极值.若,令,则.因为当时,所以在上单调递增.因为,而,所以存在,使得.和的情况如下:因此,当时,有极小值.来源:Zxxk.Com综上,的取值范围是.15分5、解:(1) 定义域为:R切点为在处的切线方程为:.(2) 令,解得:()在、单调递增,在单调递减.在处取得极小值为.(3)由(2)知的极大值为 ,, ,函数的零点个数为1.6、【解答】解:(1),令,可得,(舍当时,函数在区间上单调递减,在区间,上的单调递增;当时,函数在区间上单调递减(2)存在,使得不等式成立存在,使得不等式成立,令,在递减,在,递增,依题意只需即可令,可得在递增,在递减,且(2)实数的取值范围,7、【解析】(I)切线方程为y=1;fx=ex-1,令fx=0,得x=0;所以,当x变化时,fx与fx的变化情况如下表所示:x(-,0)0(0,1)fx-0+fx所以f(x)min=f0=1;(II)当a(-2,0)时,曲线y=f(x)与y=1-lnx有且只有一个交点等价于Fx=ex+ax+lnx-1(x0)有且只有一个零点;方法一:F(x)=ex+a+1x(x0)当x(0,1)时,ex1,1x1,-2a0,所以Fx在(0,1)单调递增;当x1,+, exe,01x1,-2a0,所以Fx在1,+上单调递增;综上可知:Fx在(0,+)上单调递增;又因为F3=e3+3a+ln3-10,Fe-1=ee-1+ae+lne-1-1e12-2+ae0,g121, 1x021,所以gx00所以F(x)在x(0,+)单调递增,F1e=e1e+ae-1-1,e42e,所以e1e2,又因为a(-2,0),F1e=e1e+ae-2e27,ae-2e-6,Fe=ee+ae-1+10根据零点存在性定理可得一定存在一个x1,使得Fx1=ex1+ax1-1+lnx1=0所以当a(-2,0)时,曲线y=f(x)与y=1-lnx有且只有一个交点8、()解:因为,所以 , 又因为, 所以切线方程为. ()解:因为, (1)当时因为,所以的单调增区间是,无单调减区间. (2)当时令,则 当时,与在上的变化情况如下:0+所以的单调减区间是,单调增区间是 当时,与在上的变化情况如下:+0所以的单调增区间是,单调减区间是 综上所述,当时,的单调增区间是,无单调减区间;当时,的单调减区间是,单调增区间是;当时,的单调增区间是,单调减区间是9、解:(I)由fx=(x2+ax-a)ex,
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